Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51703 / 49521
↖ ↑ ↗
← S 67.308095°
E104.013062°		 ← 235.63 m → S 67.308095°
E104.018555°		 →
↑
235.60 m
↓
↑
235.60 m
↓
S 67.310214°
E104.013062°		 ← 235.61 m →
55 511 m²		 S 67.310214°
E104.018555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.788932800292969 y=0.755638122558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.788932800292969 × 216)
    floor (0.788932800292969 × 65536)
    floor (51703.5)     		tx = 51703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755638122558594 × 216)
    floor (0.755638122558594 × 65536)
    floor (49521.5)     		ty = 49521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51703 / 49521 ti = "16/51703/49521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51703/49521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51703 ÷ 216
    51703 ÷ 65536     		x = 0.788925170898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49521 ÷ 216
    49521 ÷ 65536     		y = 0.755630493164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.788925170898438 × 2 - 1) × π
    0.577850341796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.81537039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755630493164062 × 2 - 1) × π
    -0.511260986328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6061737586696
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81537039} λ = 1.81537039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6061737586696))-π/2
    2×atan(0.200653897383112)-π/2
    2×0.198024228196082-π/2
    0.396048456392165-1.57079632675     		φ = -1.17474787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81537039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.013062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17474787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.308095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51703 KachelY 49521 1.81537039 -1.17474787 104.013062 -67.308095
    Oben rechts KachelX + 1 51704 KachelY 49521 1.81546626 -1.17474787 104.018555 -67.308095
    Unten links KachelX 51703 KachelY + 1 49522 1.81537039 -1.17478485 104.013062 -67.310214
    Unten rechts KachelX + 1 51704 KachelY + 1 49522 1.81546626 -1.17478485 104.018555 -67.310214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17474787--1.17478485) × R
    3.69799999999643e-05 × 6371000     		dl = 235.599579999772m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17474787--1.17478485) × R
    3.69799999999643e-05 × 6371000     		dr = 235.599579999772m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81537039-1.81546626) × cos(-1.17474787) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.385775699148098 × 6371000     		do = 235.627079002853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81537039-1.81546626) × cos(-1.17478485) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.385741581409892 × 6371000     		du = 235.606240305616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17474787)-sin(-1.17478485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385775699148098-0.385741581409892)×R²
    abs(1.81546626-1.81537039)×3.41177382058855e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.41177382058855e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.41177382058855e-05×40589641000000     		ar = 55511.1860616765m²