Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5170 / 3058
↖ ↑ ↗
← N 81.116996°
W123.200684°		 ← 188.64 m → N 81.116996°
W123.189697°		 →
↑
188.65 m
↓
↑
188.65 m
↓
N 81.115300°
W123.200684°		 ← 188.68 m →
35 590 m²		 N 81.115300°
W123.189697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157791137695312 y=0.0933380126953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157791137695312 × 215)
    floor (0.157791137695312 × 32768)
    floor (5170.5)     		tx = 5170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0933380126953125 × 215)
    floor (0.0933380126953125 × 32768)
    floor (3058.5)     		ty = 3058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5170 / 3058 ti = "15/5170/3058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5170/3058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5170 ÷ 215
    5170 ÷ 32768     		x = 0.15777587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3058 ÷ 215
    3058 ÷ 32768     		y = 0.09332275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15777587890625 × 2 - 1) × π
    -0.6844482421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.15025757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09332275390625 × 2 - 1) × π
    0.8133544921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.55522849734747
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15025757} λ = -2.15025757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55522849734747))-π/2
    2×atan(12.87424105139)-π/2
    2×1.49327749390792-π/2
    2.98655498781584-1.57079632675     		φ = 1.41575866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15025757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.200684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41575866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.116996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5170 KachelY 3058 -2.15025757 1.41575866 -123.200684 81.116996
    Oben rechts KachelX + 1 5171 KachelY 3058 -2.15006582 1.41575866 -123.189697 81.116996
    Unten links KachelX 5170 KachelY + 1 3059 -2.15025757 1.41572905 -123.200684 81.115300
    Unten rechts KachelX + 1 5171 KachelY + 1 3059 -2.15006582 1.41572905 -123.189697 81.115300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41575866-1.41572905) × R
    2.96100000001243e-05 × 6371000     		dl = 188.645310000792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41575866-1.41572905) × R
    2.96100000001243e-05 × 6371000     		dr = 188.645310000792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15025757--2.15006582) × cos(1.41575866) × R
    0.000191749999999935 × 0.154417314409303 × 6371000     		do = 188.642252161932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15025757--2.15006582) × cos(1.41572905) × R
    0.000191749999999935 × 0.15444656919083 × 6371000     		du = 188.677990951294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41575866)-sin(1.41572905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154417314409303-0.15444656919083)×R²
    abs(-2.15006582--2.15025757)×2.92547815262112e-05×R²
    0.000191749999999935×2.92547815262112e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.92547815262112e-05×40589641000000     		ar = 35589.847118305m²