Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5169 / 3055
↖ ↑ ↗
← N 81.122084°
W123.211670°		 ← 188.54 m → N 81.122084°
W123.200684°		 →
↑
188.52 m
↓
↑
188.52 m
↓
N 81.120389°
W123.211670°		 ← 188.57 m →
35 546 m²		 N 81.120389°
W123.200684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157760620117188 y=0.0932464599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157760620117188 × 215)
    floor (0.157760620117188 × 32768)
    floor (5169.5)     		tx = 5169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0932464599609375 × 215)
    floor (0.0932464599609375 × 32768)
    floor (3055.5)     		ty = 3055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5169 / 3055 ti = "15/5169/3055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5169/3055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5169 ÷ 215
    5169 ÷ 32768     		x = 0.157745361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3055 ÷ 215
    3055 ÷ 32768     		y = 0.093231201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157745361328125 × 2 - 1) × π
    -0.68450927734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.15044932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.093231201171875 × 2 - 1) × π
    0.81353759765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.55580374014291
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15044932} λ = -2.15044932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55580374014291))-π/2
    2×atan(12.8816489962807)-π/2
    2×1.49332189501265-π/2
    2.98664379002529-1.57079632675     		φ = 1.41584746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15044932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.211670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41584746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.122084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5169 KachelY 3055 -2.15044932 1.41584746 -123.211670 81.122084
    Oben rechts KachelX + 1 5170 KachelY 3055 -2.15025757 1.41584746 -123.200684 81.122084
    Unten links KachelX 5169 KachelY + 1 3056 -2.15044932 1.41581787 -123.211670 81.120389
    Unten rechts KachelX + 1 5170 KachelY + 1 3056 -2.15025757 1.41581787 -123.200684 81.120389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41584746-1.41581787) × R
    2.95900000000238e-05 × 6371000     		dl = 188.517890000151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41584746-1.41581787) × R
    2.95900000000238e-05 × 6371000     		dr = 188.517890000151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15044932--2.15025757) × cos(1.41584746) × R
    0.000191749999999935 × 0.154329578893096 × 6371000     		do = 188.535071011714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15044932--2.15025757) × cos(1.41581787) × R
    0.000191749999999935 × 0.154358814320269 × 6371000     		du = 188.570786157038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41584746)-sin(1.41581787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154329578893096-0.154358814320269)×R²
    abs(-2.15025757--2.15044932)×2.92354271720641e-05×R²
    0.000191749999999935×2.92354271720641e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.92354271720641e-05×40589641000000     		ar = 35545.6002525592m²