Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 51689 / 13816
↖ ↑ ↗
← N 80.419365°
W 38.031921°		 ← 50.83 m → N 80.419365°
W 38.029175°		 →
↑
50.78 m
↓
↑
50.78 m
↓
N 80.418908°
W 38.031921°		 ← 50.84 m →
2 581 m²		 N 80.418908°
W 38.029175°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.394359588623047 y=0.105411529541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.394359588623047 × 217)
    floor (0.394359588623047 × 131072)
    floor (51689.5)     		tx = 51689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105411529541016 × 217)
    floor (0.105411529541016 × 131072)
    floor (13816.5)     		ty = 13816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51689 / 13816 ti = "17/51689/13816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51689/13816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51689 ÷ 217
    51689 ÷ 131072     		x = 0.394355773925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13816 ÷ 217
    13816 ÷ 131072     		y = 0.10540771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.394355773925781 × 2 - 1) × π
    -0.211288452148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.66378225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10540771484375 × 2 - 1) × π
    0.7891845703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.4792964483493
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.66378225} λ = -0.66378225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4792964483493))-π/2
    2×atan(11.9328660762365)-π/2
    2×1.48718951564532-π/2
    2.97437903129065-1.57079632675     		φ = 1.40358270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.66378225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -38.031921°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40358270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.419365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51689 KachelY 13816 -0.66378225 1.40358270 -38.031921 80.419365
    Oben rechts KachelX + 1 51690 KachelY 13816 -0.66373431 1.40358270 -38.029175 80.419365
    Unten links KachelX 51689 KachelY + 1 13817 -0.66378225 1.40357473 -38.031921 80.418908
    Unten rechts KachelX + 1 51690 KachelY + 1 13817 -0.66373431 1.40357473 -38.029175 80.418908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40358270-1.40357473) × R
    7.96999999996828e-06 × 6371000     		dl = 50.7768699997979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40358270-1.40357473) × R
    7.96999999996828e-06 × 6371000     		dr = 50.7768699997979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.66378225--0.66373431) × cos(1.40358270) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16643548887972 × 6371000     		do = 50.833682353317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.66378225--0.66373431) × cos(1.40357473) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166443347711628 × 6371000     		du = 50.8360826428679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40358270)-sin(1.40357473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16643548887972-0.166443347711628)×R²
    abs(-0.66373431--0.66378225)×7.85883190734804e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.85883190734804e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.85883190734804e-06×40589641000000     		ar = 2581.23622000058m²