Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51686 / 49497
↖ ↑ ↗
← S 67.257182°
E103.919678°		 ← 236.15 m → S 67.257182°
E103.925171°		 →
↑
236.11 m
↓
↑
236.11 m
↓
S 67.259305°
E103.919678°		 ← 236.13 m →
55 755 m²		 S 67.259305°
E103.925171°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.788673400878906 y=0.755271911621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.788673400878906 × 216)
    floor (0.788673400878906 × 65536)
    floor (51686.5)     		tx = 51686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755271911621094 × 216)
    floor (0.755271911621094 × 65536)
    floor (49497.5)     		ty = 49497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51686 / 49497 ti = "16/51686/49497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51686/49497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51686 ÷ 216
    51686 ÷ 65536     		x = 0.788665771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49497 ÷ 216
    49497 ÷ 65536     		y = 0.755264282226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.788665771484375 × 2 - 1) × π
    0.57733154296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.81374053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755264282226562 × 2 - 1) × π
    -0.510528564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.60387278748784
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81374053} λ = 1.81374053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60387278748784))-π/2
    2×atan(0.201116127803999)-π/2
    2×0.198468528947527-π/2
    0.396937057895054-1.57079632675     		φ = -1.17385927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81374053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.919678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17385927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.257182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51686 KachelY 49497 1.81374053 -1.17385927 103.919678 -67.257182
    Oben rechts KachelX + 1 51687 KachelY 49497 1.81383641 -1.17385927 103.925171 -67.257182
    Unten links KachelX 51686 KachelY + 1 49498 1.81374053 -1.17389633 103.919678 -67.259305
    Unten rechts KachelX + 1 51687 KachelY + 1 49498 1.81383641 -1.17389633 103.925171 -67.259305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17385927--1.17389633) × R
    3.70600000001442e-05 × 6371000     		dl = 236.109260000919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17385927--1.17389633) × R
    3.70600000001442e-05 × 6371000     		dr = 236.109260000919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81374053-1.81383641) × cos(-1.17385927) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.386595362520517 × 6371000     		do = 236.15234935664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81374053-1.81383641) × cos(-1.17389633) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.386561183690874 × 6371000     		du = 236.131471167967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17385927)-sin(-1.17389633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386595362520517-0.386561183690874)×R²
    abs(1.81383641-1.81374053)×3.41788296437939e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.41788296437939e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.41788296437939e-05×40589641000000     		ar = 55755.2916937496m²