Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51686 / 13818
↖ ↑ ↗
← N 80.418451°
W 38.040161°		 ← 50.84 m → N 80.418451°
W 38.037414°		 →
↑
50.84 m
↓
↑
50.84 m
↓
N 80.417994°
W 38.040161°		 ← 50.84 m →
2 585 m²		 N 80.417994°
W 38.037414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.394336700439453 y=0.105426788330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.394336700439453 × 217)
    floor (0.394336700439453 × 131072)
    floor (51686.5)     		tx = 51686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105426788330078 × 217)
    floor (0.105426788330078 × 131072)
    floor (13818.5)     		ty = 13818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51686 / 13818 ti = "17/51686/13818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51686/13818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51686 ÷ 217
    51686 ÷ 131072     		x = 0.394332885742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13818 ÷ 217
    13818 ÷ 131072     		y = 0.105422973632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.394332885742188 × 2 - 1) × π
    -0.211334228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.66392606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105422973632812 × 2 - 1) × π
    0.789154052734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.47920057455006
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.66392606} λ = -0.66392606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47920057455006))-π/2
    2×atan(11.9317220818704)-π/2
    2×1.48718153686707-π/2
    2.97436307373415-1.57079632675     		φ = 1.40356675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.66392606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -38.040161°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40356675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.418451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51686 KachelY 13818 -0.66392606 1.40356675 -38.040161 80.418451
    Oben rechts KachelX + 1 51687 KachelY 13818 -0.66387812 1.40356675 -38.037414 80.418451
    Unten links KachelX 51686 KachelY + 1 13819 -0.66392606 1.40355877 -38.040161 80.417994
    Unten rechts KachelX + 1 51687 KachelY + 1 13819 -0.66387812 1.40355877 -38.037414 80.417994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40356675-1.40355877) × R
    7.97999999990751e-06 × 6371000     		dl = 50.8405799994107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40356675-1.40355877) × R
    7.97999999990751e-06 × 6371000     		dr = 50.8405799994107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.66392606--0.66387812) × cos(1.40356675) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16645121639346 × 6371000     		do = 50.8384859408392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.66392606--0.66387812) × cos(1.40355877) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166459085064691 × 6371000     		du = 50.840889235573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40356675)-sin(1.40355877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16645121639346-0.166459085064691)×R²
    abs(-0.66387812--0.66392606)×7.86867123189761e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.86867123189761e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.86867123189761e-06×40589641000000     		ar = 2584.71920388094m²