Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51683 / 49765
↖ ↑ ↗
← S 67.819616°
E103.903198°		 ← 230.61 m → S 67.819616°
E103.908692°		 →
↑
230.63 m
↓
↑
230.63 m
↓
S 67.821690°
E103.903198°		 ← 230.59 m →
53 183 m²		 S 67.821690°
E103.908692°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.788627624511719 y=0.759361267089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.788627624511719 × 216)
    floor (0.788627624511719 × 65536)
    floor (51683.5)     		tx = 51683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759361267089844 × 216)
    floor (0.759361267089844 × 65536)
    floor (49765.5)     		ty = 49765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51683 / 49765 ti = "16/51683/49765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51683/49765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51683 ÷ 216
    51683 ÷ 65536     		x = 0.788619995117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49765 ÷ 216
    49765 ÷ 65536     		y = 0.759353637695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.788619995117188 × 2 - 1) × π
    0.577239990234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.81345291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759353637695312 × 2 - 1) × π
    -0.518707275390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62956696568419
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81345291} λ = 1.81345291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62956696568419))-π/2
    2×atan(0.196014436728872)-π/2
    2×0.193560366762165-π/2
    0.38712073352433-1.57079632675     		φ = -1.18367559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81345291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.903198°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18367559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.819616°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51683 KachelY 49765 1.81345291 -1.18367559 103.903198 -67.819616
    Oben rechts KachelX + 1 51684 KachelY 49765 1.81354879 -1.18367559 103.908692 -67.819616
    Unten links KachelX 51683 KachelY + 1 49766 1.81345291 -1.18371179 103.903198 -67.821690
    Unten rechts KachelX + 1 51684 KachelY + 1 49766 1.81354879 -1.18371179 103.908692 -67.821690
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18367559--1.18371179) × R
    3.62000000000418e-05 × 6371000     		dl = 230.630200000266m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18367559--1.18371179) × R
    3.62000000000418e-05 × 6371000     		dr = 230.630200000266m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81345291-1.81354879) × cos(-1.18367559) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.377523786268911 × 6371000     		do = 230.610963577416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81345291-1.81354879) × cos(-1.18371179) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.377490264825646 × 6371000     		du = 230.590486954186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18367559)-sin(-1.18371179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377523786268911-0.377490264825646)×R²
    abs(1.81354879-1.81345291)×3.35214432647946e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.35214432647946e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.35214432647946e-05×40589641000000     		ar = 53183.4913938503m²