Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51682 / 49502
↖ ↑ ↗
← S 67.267798°
E103.897705°		 ← 236.02 m → S 67.267798°
E103.903198°		 →
↑
236.05 m
↓
↑
236.05 m
↓
S 67.269920°
E103.897705°		 ← 236 m →
55 710 m²		 S 67.269920°
E103.903198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.788612365722656 y=0.755348205566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.788612365722656 × 216)
    floor (0.788612365722656 × 65536)
    floor (51682.5)     		tx = 51682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755348205566406 × 216)
    floor (0.755348205566406 × 65536)
    floor (49502.5)     		ty = 49502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51682 / 49502 ti = "16/51682/49502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51682/49502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51682 ÷ 216
    51682 ÷ 65536     		x = 0.788604736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49502 ÷ 216
    49502 ÷ 65536     		y = 0.755340576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.788604736328125 × 2 - 1) × π
    0.57720947265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.81335704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755340576171875 × 2 - 1) × π
    -0.51068115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.60435215648404
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81335704} λ = 1.81335704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60435215648404))-π/2
    2×atan(0.201019742071706)-π/2
    2×0.198375888511955-π/2
    0.39675177702391-1.57079632675     		φ = -1.17404455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81335704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.897705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17404455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.267798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51682 KachelY 49502 1.81335704 -1.17404455 103.897705 -67.267798
    Oben rechts KachelX + 1 51683 KachelY 49502 1.81345291 -1.17404455 103.903198 -67.267798
    Unten links KachelX 51682 KachelY + 1 49503 1.81335704 -1.17408160 103.897705 -67.269920
    Unten rechts KachelX + 1 51683 KachelY + 1 49503 1.81345291 -1.17408160 103.903198 -67.269920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17404455--1.17408160) × R
    3.70499999999829e-05 × 6371000     		dl = 236.045549999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17404455--1.17408160) × R
    3.70499999999829e-05 × 6371000     		dr = 236.045549999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81335704-1.81345291) × cos(-1.17404455) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.38642448150999 × 6371000     		do = 236.023347334888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81335704-1.81345291) × cos(-1.17408160) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.386390309249856 × 6371000     		du = 236.002475336325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17404455)-sin(-1.17408160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38642448150999-0.386390309249856)×R²
    abs(1.81345291-1.81335704)×3.41722601340244e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.41722601340244e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.41722601340244e-05×40589641000000     		ar = 55709.7974698789m²