Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51680 / 49761
↖ ↑ ↗
← S 67.811319°
E103.886719°		 ← 230.69 m → S 67.811319°
E103.892212°		 →
↑
230.63 m
↓
↑
230.63 m
↓
S 67.813393°
E103.886719°		 ← 230.67 m →
53 202 m²		 S 67.813393°
E103.892212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.788581848144531 y=0.759300231933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.788581848144531 × 216)
    floor (0.788581848144531 × 65536)
    floor (51680.5)     		tx = 51680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759300231933594 × 216)
    floor (0.759300231933594 × 65536)
    floor (49761.5)     		ty = 49761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51680 / 49761 ti = "16/51680/49761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51680/49761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51680 ÷ 216
    51680 ÷ 65536     		x = 0.78857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49761 ÷ 216
    49761 ÷ 65536     		y = 0.759292602539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78857421875 × 2 - 1) × π
    0.5771484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.81316529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759292602539062 × 2 - 1) × π
    -0.518585205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62918347048723
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81316529} λ = 1.81316529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62918347048723))-π/2
    2×atan(0.196089621739516)-π/2
    2×0.193632768895553-π/2
    0.387265537791106-1.57079632675     		φ = -1.18353079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81316529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.886719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18353079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.811319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51680 KachelY 49761 1.81316529 -1.18353079 103.886719 -67.811319
    Oben rechts KachelX + 1 51681 KachelY 49761 1.81326117 -1.18353079 103.892212 -67.811319
    Unten links KachelX 51680 KachelY + 1 49762 1.81316529 -1.18356699 103.886719 -67.813393
    Unten rechts KachelX + 1 51681 KachelY + 1 49762 1.81326117 -1.18356699 103.892212 -67.813393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18353079--1.18356699) × R
    3.62000000000418e-05 × 6371000     		dl = 230.630200000266m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18353079--1.18356699) × R
    3.62000000000418e-05 × 6371000     		dr = 230.630200000266m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81316529-1.81326117) × cos(-1.18353079) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.377657867094307 × 6371000     		do = 230.692867048584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81316529-1.81326117) × cos(-1.18356699) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.377624347630195 × 6371000     		du = 230.672391634322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18353079)-sin(-1.18356699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377657867094307-0.377624347630195)×R²
    abs(1.81326117-1.81316529)×3.35194641121195e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.35194641121195e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.35194641121195e-05×40589641000000     		ar = 53202.3809472915m²