Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5168 / 3056
↖ ↑ ↗
← N 81.120389°
W123.222656°		 ← 188.56 m → N 81.120389°
W123.211670°		 →
↑
188.58 m
↓
↑
188.58 m
↓
N 81.118693°
W123.222656°		 ← 188.60 m →
35 562 m²		 N 81.118693°
W123.211670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157730102539062 y=0.0932769775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157730102539062 × 215)
    floor (0.157730102539062 × 32768)
    floor (5168.5)     		tx = 5168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0932769775390625 × 215)
    floor (0.0932769775390625 × 32768)
    floor (3056.5)     		ty = 3056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5168 / 3056 ti = "15/5168/3056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5168/3056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5168 ÷ 215
    5168 ÷ 32768     		x = 0.15771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3056 ÷ 215
    3056 ÷ 32768     		y = 0.09326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15771484375 × 2 - 1) × π
    -0.6845703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.15064106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09326171875 × 2 - 1) × π
    0.8134765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.55561199254443
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15064106} λ = -2.15064106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55561199254443))-π/2
    2×atan(12.8791792078168)-π/2
    2×1.49330709744823-π/2
    2.98661419489646-1.57079632675     		φ = 1.41581787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15064106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.222656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41581787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.120389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5168 KachelY 3056 -2.15064106 1.41581787 -123.222656 81.120389
    Oben rechts KachelX + 1 5169 KachelY 3056 -2.15044932 1.41581787 -123.211670 81.120389
    Unten links KachelX 5168 KachelY + 1 3057 -2.15064106 1.41578827 -123.222656 81.118693
    Unten rechts KachelX + 1 5169 KachelY + 1 3057 -2.15044932 1.41578827 -123.211670 81.118693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41581787-1.41578827) × R
    2.9599999999963e-05 × 6371000     		dl = 188.581599999764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41581787-1.41578827) × R
    2.9599999999963e-05 × 6371000     		dr = 188.581599999764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15064106--2.15044932) × cos(1.41581787) × R
    0.000191739999999996 × 0.154358814320269 × 6371000     		do = 188.560951957038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15064106--2.15044932) × cos(1.41578827) × R
    0.000191739999999996 × 0.154388059492392 × 6371000     		du = 188.596677143966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41581787)-sin(1.41578827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154358814320269-0.154388059492392)×R²
    abs(-2.15044932--2.15064106)×2.92451721232434e-05×R²
    0.000191739999999996×2.92451721232434e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.92451721232434e-05×40589641000000     		ar = 35562.4945763757m²