Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51673 / 48945
↖ ↑ ↗
← S 66.055946°
E103.848266°		 ← 247.91 m → S 66.055946°
E103.853760°		 →
↑
247.90 m
↓
↑
247.90 m
↓
S 66.058175°
E103.848266°		 ← 247.89 m →
61 453 m²		 S 66.058175°
E103.853760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.788475036621094 y=0.746849060058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.788475036621094 × 216)
    floor (0.788475036621094 × 65536)
    floor (51673.5)     		tx = 51673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746849060058594 × 216)
    floor (0.746849060058594 × 65536)
    floor (48945.5)     		ty = 48945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51673 / 48945 ti = "16/51673/48945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51673/48945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51673 ÷ 216
    51673 ÷ 65536     		x = 0.788467407226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48945 ÷ 216
    48945 ÷ 65536     		y = 0.746841430664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.788467407226562 × 2 - 1) × π
    0.576934814453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.81249417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746841430664062 × 2 - 1) × π
    -0.493682861328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5509504503073
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81249417} λ = 1.81249417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5509504503073))-π/2
    2×atan(0.212046338512149)-π/2
    2×0.208951292015941-π/2
    0.417902584031882-1.57079632675     		φ = -1.15289374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81249417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.848266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15289374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.055946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51673 KachelY 48945 1.81249417 -1.15289374 103.848266 -66.055946
    Oben rechts KachelX + 1 51674 KachelY 48945 1.81259005 -1.15289374 103.853760 -66.055946
    Unten links KachelX 51673 KachelY + 1 48946 1.81249417 -1.15293265 103.848266 -66.058175
    Unten rechts KachelX + 1 51674 KachelY + 1 48946 1.81259005 -1.15293265 103.853760 -66.058175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15289374--1.15293265) × R
    3.89100000000031e-05 × 6371000     		dl = 247.89561000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15289374--1.15293265) × R
    3.89100000000031e-05 × 6371000     		dr = 247.89561000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81249417-1.81259005) × cos(-1.15289374) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.405844432765106 × 6371000     		do = 247.910672404737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81249417-1.81259005) × cos(-1.15293265) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.405808870967925 × 6371000     		du = 247.888949428297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15289374)-sin(-1.15293265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405844432765106-0.405808870967925)×R²
    abs(1.81259005-1.81249417)×3.55617971813937e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.55617971813937e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.55617971813937e-05×40589641000000     		ar = 61453.2748537531m²