Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51670 / 49550
↖ ↑ ↗
← S 67.369471°
E103.831787°		 ← 235.05 m → S 67.369471°
E103.837280°		 →
↑
235.03 m
↓
↑
235.03 m
↓
S 67.371584°
E103.831787°		 ← 235.03 m →
55 240 m²		 S 67.371584°
E103.837280°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.788429260253906 y=0.756080627441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.788429260253906 × 216)
    floor (0.788429260253906 × 65536)
    floor (51670.5)     		tx = 51670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756080627441406 × 216)
    floor (0.756080627441406 × 65536)
    floor (49550.5)     		ty = 49550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51670 / 49550 ti = "16/51670/49550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51670/49550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51670 ÷ 216
    51670 ÷ 65536     		x = 0.788421630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49550 ÷ 216
    49550 ÷ 65536     		y = 0.756072998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.788421630859375 × 2 - 1) × π
    0.57684326171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.81220655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756072998046875 × 2 - 1) × π
    -0.51214599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.60895409884756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81220655} λ = 1.81220655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60895409884756))-π/2
    2×atan(0.200096786128641)-π/2
    2×0.19748862170271-π/2
    0.39497724340542-1.57079632675     		φ = -1.17581908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81220655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.831787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17581908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.369471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51670 KachelY 49550 1.81220655 -1.17581908 103.831787 -67.369471
    Oben rechts KachelX + 1 51671 KachelY 49550 1.81230243 -1.17581908 103.837280 -67.369471
    Unten links KachelX 51670 KachelY + 1 49551 1.81220655 -1.17585597 103.831787 -67.371584
    Unten rechts KachelX + 1 51671 KachelY + 1 49551 1.81230243 -1.17585597 103.837280 -67.371584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17581908--1.17585597) × R
    3.68900000000671e-05 × 6371000     		dl = 235.026190000428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17581908--1.17585597) × R
    3.68900000000671e-05 × 6371000     		dr = 235.026190000428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81220655-1.81230243) × cos(-1.17581908) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.384787187578499 × 6371000     		do = 235.04782301721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81220655-1.81230243) × cos(-1.17585597) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.384753137650438 × 6371000     		du = 235.02702356826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17581908)-sin(-1.17585597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384787187578499-0.384753137650438)×R²
    abs(1.81230243-1.81220655)×3.40499280607753e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.40499280607753e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.40499280607753e-05×40589641000000     		ar = 55239.95011011m²