Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5164 / 923
↖ ↑ ↗
← N 79.974243°
E 46.933594°		 ← 850.69 m → N 79.974243°
E 46.977539°		 →
↑
851.04 m
↓
↑
851.04 m
↓
N 79.966590°
E 46.933594°		 ← 851.34 m →
724 246 m²		 N 79.966590°
E 46.977539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.63043212890625 y=0.11273193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.63043212890625 × 213)
    floor (0.63043212890625 × 8192)
    floor (5164.5)     		tx = 5164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11273193359375 × 213)
    floor (0.11273193359375 × 8192)
    floor (923.5)     		ty = 923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5164 / 923 ti = "13/5164/923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5164/923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5164 ÷ 213
    5164 ÷ 8192     		x = 0.63037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 923 ÷ 213
    923 ÷ 8192     		y = 0.1126708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63037109375 × 2 - 1) × π
    0.2607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81914574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1126708984375 × 2 - 1) × π
    0.774658203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.43366051991101
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81914574} λ = 0.81914574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43366051991101))-π/2
    2×atan(11.4005376881002)-π/2
    2×1.48330509154332-π/2
    2.96661018308664-1.57079632675     		φ = 1.39581386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81914574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.933594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39581386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.974243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5164 KachelY 923 0.81914574 1.39581386 46.933594 79.974243
    Oben rechts KachelX + 1 5165 KachelY 923 0.81991273 1.39581386 46.977539 79.974243
    Unten links KachelX 5164 KachelY + 1 924 0.81914574 1.39568028 46.933594 79.966590
    Unten rechts KachelX + 1 5165 KachelY + 1 924 0.81991273 1.39568028 46.977539 79.966590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39581386-1.39568028) × R
    0.000133579999999967 × 6371000     		dl = 851.038179999787m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39581386-1.39568028) × R
    0.000133579999999967 × 6371000     		dr = 851.038179999787m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81914574-0.81991273) × cos(1.39581386) × R
    0.000766990000000023 × 0.174090872154458 × 6371000     		do = 850.693878633031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81914574-0.81991273) × cos(1.39568028) × R
    0.000766990000000023 × 0.174222410779684 × 6371000     		du = 851.336641242575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39581386)-sin(1.39568028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174090872154458-0.174222410779684)×R²
    abs(0.81991273-0.81914574)×0.000131538625226274×R²
    0.000766990000000023×0.000131538625226274×6371000²
    0.000766990000000023×0.000131538625226274×40589641000000     		ar = 724246.479044765m²