Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5164 / 922
↖ ↑ ↗
← N 79.981890°
E 46.933594°		 ← 850.05 m → N 79.981890°
E 46.977539°		 →
↑
850.34 m
↓
↑
850.34 m
↓
N 79.974243°
E 46.933594°		 ← 850.69 m →
723 104 m²		 N 79.974243°
E 46.977539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.63043212890625 y=0.11260986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.63043212890625 × 213)
    floor (0.63043212890625 × 8192)
    floor (5164.5)     		tx = 5164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11260986328125 × 213)
    floor (0.11260986328125 × 8192)
    floor (922.5)     		ty = 922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5164 / 922 ti = "13/5164/922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5164/922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5164 ÷ 213
    5164 ÷ 8192     		x = 0.63037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 922 ÷ 213
    922 ÷ 8192     		y = 0.112548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63037109375 × 2 - 1) × π
    0.2607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81914574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112548828125 × 2 - 1) × π
    0.77490234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.43442751030493
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81914574} λ = 0.81914574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43442751030493))-π/2
    2×atan(11.4092851451714)-π/2
    2×1.48337182935185-π/2
    2.9667436587037-1.57079632675     		φ = 1.39594733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81914574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.933594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39594733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.981890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5164 KachelY 922 0.81914574 1.39594733 46.933594 79.981890
    Oben rechts KachelX + 1 5165 KachelY 922 0.81991273 1.39594733 46.977539 79.981890
    Unten links KachelX 5164 KachelY + 1 923 0.81914574 1.39581386 46.933594 79.974243
    Unten rechts KachelX + 1 5165 KachelY + 1 923 0.81991273 1.39581386 46.977539 79.974243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39594733-1.39581386) × R
    0.000133469999999969 × 6371000     		dl = 850.337369999802m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39594733-1.39581386) × R
    0.000133469999999969 × 6371000     		dr = 850.337369999802m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81914574-0.81991273) × cos(1.39594733) × R
    0.000766990000000023 × 0.173959438745632 × 6371000     		do = 850.051630162722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81914574-0.81991273) × cos(1.39581386) × R
    0.000766990000000023 × 0.174090872154458 × 6371000     		du = 850.693878633031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39594733)-sin(1.39581386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173959438745632-0.174090872154458)×R²
    abs(0.81991273-0.81914574)×0.000131433408825904×R²
    0.000766990000000023×0.000131433408825904×6371000²
    0.000766990000000023×0.000131433408825904×40589641000000     		ar = 723103.732569234m²