Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51627 / 49559
↖ ↑ ↗
← S 67.388487°
E103.595581°		 ← 234.84 m → S 67.388487°
E103.601074°		 →
↑
234.84 m
↓
↑
234.84 m
↓
S 67.390599°
E103.595581°		 ← 234.82 m →
55 145 m²		 S 67.390599°
E103.601074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.787773132324219 y=0.756217956542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.787773132324219 × 216)
    floor (0.787773132324219 × 65536)
    floor (51627.5)     		tx = 51627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756217956542969 × 216)
    floor (0.756217956542969 × 65536)
    floor (49559.5)     		ty = 49559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51627 / 49559 ti = "16/51627/49559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51627/49559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51627 ÷ 216
    51627 ÷ 65536     		x = 0.787765502929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49559 ÷ 216
    49559 ÷ 65536     		y = 0.756210327148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.787765502929688 × 2 - 1) × π
    0.575531005859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.80808398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756210327148438 × 2 - 1) × π
    -0.512420654296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.60981696304073
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.80808398} λ = 1.80808398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60981696304073))-π/2
    2×atan(0.199924204244796)-π/2
    2×0.19732267825383-π/2
    0.39464535650766-1.57079632675     		φ = -1.17615097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.80808398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.595581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17615097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.388487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51627 KachelY 49559 1.80808398 -1.17615097 103.595581 -67.388487
    Oben rechts KachelX + 1 51628 KachelY 49559 1.80817985 -1.17615097 103.601074 -67.388487
    Unten links KachelX 51627 KachelY + 1 49560 1.80808398 -1.17618783 103.595581 -67.390599
    Unten rechts KachelX + 1 51628 KachelY + 1 49560 1.80817985 -1.17618783 103.601074 -67.390599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17615097--1.17618783) × R
    3.68600000000274e-05 × 6371000     		dl = 234.835060000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17615097--1.17618783) × R
    3.68600000000274e-05 × 6371000     		dr = 234.835060000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.80808398-1.80817985) × cos(-1.17615097) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.384480830156212 × 6371000     		do = 234.836188858856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.80808398-1.80817985) × cos(-1.17618783) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.384446803213538 × 6371000     		du = 234.81540561842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17615097)-sin(-1.17618783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384480830156212-0.384446803213538)×R²
    abs(1.80817985-1.80808398)×3.40269426742368e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.40269426742368e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.40269426742368e-05×40589641000000     		ar = 55145.3301905803m²