Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51617 / 48911
↖ ↑ ↗
← S 65.980034°
E103.540649°		 ← 248.65 m → S 65.980034°
E103.546143°		 →
↑
248.60 m
↓
↑
248.60 m
↓
S 65.982270°
E103.540649°		 ← 248.63 m →
61 811 m²		 S 65.982270°
E103.546143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.787620544433594 y=0.746330261230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.787620544433594 × 216)
    floor (0.787620544433594 × 65536)
    floor (51617.5)     		tx = 51617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746330261230469 × 216)
    floor (0.746330261230469 × 65536)
    floor (48911.5)     		ty = 48911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51617 / 48911 ti = "16/51617/48911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51617/48911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51617 ÷ 216
    51617 ÷ 65536     		x = 0.787612915039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48911 ÷ 216
    48911 ÷ 65536     		y = 0.746322631835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.787612915039062 × 2 - 1) × π
    0.575225830078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.80712524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746322631835938 × 2 - 1) × π
    -0.492645263671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54769074113313
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.80712524} λ = 1.80712524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54769074113313))-π/2
    2×atan(0.212738675703044)-π/2
    2×0.20961374552487-π/2
    0.419227491049739-1.57079632675     		φ = -1.15156884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.80712524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.540649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15156884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.980034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51617 KachelY 48911 1.80712524 -1.15156884 103.540649 -65.980034
    Oben rechts KachelX + 1 51618 KachelY 48911 1.80722112 -1.15156884 103.546143 -65.980034
    Unten links KachelX 51617 KachelY + 1 48912 1.80712524 -1.15160786 103.540649 -65.982270
    Unten rechts KachelX + 1 51618 KachelY + 1 48912 1.80722112 -1.15160786 103.546143 -65.982270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15156884--1.15160786) × R
    3.90200000000007e-05 × 6371000     		dl = 248.596420000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15156884--1.15160786) × R
    3.90200000000007e-05 × 6371000     		dr = 248.596420000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.80712524-1.80722112) × cos(-1.15156884) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.407054958194951 × 6371000     		do = 248.650123654561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.80712524-1.80722112) × cos(-1.15160786) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.407019316873945 × 6371000     		du = 248.628352100875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15156884)-sin(-1.15160786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407054958194951-0.407019316873945)×R²
    abs(1.80722112-1.80712524)×3.56413210054751e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.56413210054751e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.56413210054751e-05×40589641000000     		ar = 61810.8244155887m²