Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 516 / 292
↖ ↑ ↗
← N 60.930432°
E  1.406250°		 ← 18.994 km → N 60.930432°
E  1.757813°		 →
↑
19.045 km
↓
↑
19.045 km
↓
N 60.759159°
E  1.406250°		 ← 19.096 km →
362.701 km²		 N 60.759159°
E  1.757813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50439453125 y=0.28564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50439453125 × 210)
    floor (0.50439453125 × 1024)
    floor (516.5)     		tx = 516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.28564453125 × 210)
    floor (0.28564453125 × 1024)
    floor (292.5)     		ty = 292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 516 / 292 ti = "10/516/292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/516/292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 516 ÷ 210
    516 ÷ 1024     		x = 0.50390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 292 ÷ 210
    292 ÷ 1024     		y = 0.28515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50390625 × 2 - 1) × π
    0.0078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02454369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28515625 × 2 - 1) × π
    0.4296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.34990309330078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02454369} λ = 0.02454369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34990309330078))-π/2
    2×atan(3.85705173843309)-π/2
    2×1.31711649169017-π/2
    2.63423298338034-1.57079632675     		φ = 1.06343666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02454369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06343666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.930432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 516 KachelY 292 0.02454369 1.06343666 1.406250 60.930432
    Oben rechts KachelX + 1 517 KachelY 292 0.03067962 1.06343666 1.757813 60.930432
    Unten links KachelX 516 KachelY + 1 293 0.02454369 1.06044738 1.406250 60.759159
    Unten rechts KachelX + 1 517 KachelY + 1 293 0.03067962 1.06044738 1.757813 60.759159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06343666-1.06044738) × R
    0.00298927999999998 × 6371000     		dl = 19044.7028799999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06343666-1.06044738) × R
    0.00298927999999998 × 6371000     		dr = 19044.7028799999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02454369-0.03067962) × cos(1.06343666) × R
    0.00613593 × 0.485871211628651 × 6371000     		do = 18993.6822782755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02454369-0.03067962) × cos(1.06044738) × R
    0.00613593 × 0.48848175855426 × 6371000     		du = 19095.7338048752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06343666)-sin(1.06044738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.485871211628651-0.48848175855426)×R²
    abs(0.03067962-0.02454369)×0.00261054692560819×R²
    0.00613593×0.00261054692560819×6371000²
    0.00613593×0.00261054692560819×40589641000000     		ar = 362701076.173396m²