Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5159 / 916
↖ ↑ ↗
← N 80.027655°
E 46.713867°		 ← 846.21 m → N 80.027655°
E 46.757813°		 →
↑
846.51 m
↓
↑
846.51 m
↓
N 80.020042°
E 46.713867°		 ← 846.85 m →
716 598 m²		 N 80.020042°
E 46.757813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62982177734375 y=0.11187744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62982177734375 × 213)
    floor (0.62982177734375 × 8192)
    floor (5159.5)     		tx = 5159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11187744140625 × 213)
    floor (0.11187744140625 × 8192)
    floor (916.5)     		ty = 916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5159 / 916 ti = "13/5159/916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5159/916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5159 ÷ 213
    5159 ÷ 8192     		x = 0.6297607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 916 ÷ 213
    916 ÷ 8192     		y = 0.11181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6297607421875 × 2 - 1) × π
    0.259521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81531079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11181640625 × 2 - 1) × π
    0.7763671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.43902945266846
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81531079} λ = 0.81531079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43902945266846))-π/2
    2×atan(11.4619110155544)-π/2
    2×1.48377119934915-π/2
    2.9675423986983-1.57079632675     		φ = 1.39674607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81531079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.713867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39674607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.027655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5159 KachelY 916 0.81531079 1.39674607 46.713867 80.027655
    Oben rechts KachelX + 1 5160 KachelY 916 0.81607778 1.39674607 46.757813 80.027655
    Unten links KachelX 5159 KachelY + 1 917 0.81531079 1.39661320 46.713867 80.020042
    Unten rechts KachelX + 1 5160 KachelY + 1 917 0.81607778 1.39661320 46.757813 80.020042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39674607-1.39661320) × R
    0.000132870000000063 × 6371000     		dl = 846.514770000399m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39674607-1.39661320) × R
    0.000132870000000063 × 6371000     		dr = 846.514770000399m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81531079-0.81607778) × cos(1.39674607) × R
    0.000766990000000023 × 0.173172821871163 × 6371000     		do = 846.207832083828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81531079-0.81607778) × cos(1.39661320) × R
    0.000766990000000023 × 0.173303682869475 × 6371000     		du = 846.847283474002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39674607)-sin(1.39661320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173172821871163-0.173303682869475)×R²
    abs(0.81607778-0.81531079)×0.000130860998311971×R²
    0.000766990000000023×0.000130860998311971×6371000²
    0.000766990000000023×0.000130860998311971×40589641000000     		ar = 716598.081926171m²