Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5157 / 1190
↖ ↑ ↗
← N 77.711590°
E 46.625977°		 ← 1 040.01 m → N 77.711590°
E 46.669922°		 →
↑
1 040.38 m
↓
↑
1 040.38 m
↓
N 77.702234°
E 46.625977°		 ← 1 040.79 m →
1 082 411 m²		 N 77.702234°
E 46.669922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62957763671875 y=0.14532470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62957763671875 × 213)
    floor (0.62957763671875 × 8192)
    floor (5157.5)     		tx = 5157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14532470703125 × 213)
    floor (0.14532470703125 × 8192)
    floor (1190.5)     		ty = 1190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5157 / 1190 ti = "13/5157/1190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5157/1190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5157 ÷ 213
    5157 ÷ 8192     		x = 0.6295166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1190 ÷ 213
    1190 ÷ 8192     		y = 0.145263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6295166015625 × 2 - 1) × π
    0.259033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81377681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145263671875 × 2 - 1) × π
    0.70947265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.22887408473413
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81377681} λ = 0.81377681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22887408473413))-π/2
    2×atan(9.28940111073372)-π/2
    2×1.46355972279565-π/2
    2.92711944559129-1.57079632675     		φ = 1.35632312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81377681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.625977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35632312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.711590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5157 KachelY 1190 0.81377681 1.35632312 46.625977 77.711590
    Oben rechts KachelX + 1 5158 KachelY 1190 0.81454380 1.35632312 46.669922 77.711590
    Unten links KachelX 5157 KachelY + 1 1191 0.81377681 1.35615982 46.625977 77.702234
    Unten rechts KachelX + 1 5158 KachelY + 1 1191 0.81454380 1.35615982 46.669922 77.702234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35632312-1.35615982) × R
    0.000163300000000088 × 6371000     		dl = 1040.38430000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35632312-1.35615982) × R
    0.000163300000000088 × 6371000     		dr = 1040.38430000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81377681-0.81454380) × cos(1.35632312) × R
    0.000766990000000023 × 0.212832734195435 × 6371000     		do = 1040.00572753838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81377681-0.81454380) × cos(1.35615982) × R
    0.000766990000000023 × 0.212992289933251 × 6371000     		du = 1040.7853955806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35632312)-sin(1.35615982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212832734195435-0.212992289933251)×R²
    abs(0.81454380-0.81377681)×0.000159555737816425×R²
    0.000766990000000023×0.000159555737816425×6371000²
    0.000766990000000023×0.000159555737816425×40589641000000     		ar = 1082411.21044341m²