Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5156 / 994
↖ ↑ ↗
← N 79.416240°
E 46.582031°		 ← 897.52 m → N 79.416240°
E 46.625977°		 →
↑
897.80 m
↓
↑
897.80 m
↓
N 79.408165°
E 46.582031°		 ← 898.19 m →
806 095 m²		 N 79.408165°
E 46.625977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62945556640625 y=0.12139892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62945556640625 × 213)
    floor (0.62945556640625 × 8192)
    floor (5156.5)     		tx = 5156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12139892578125 × 213)
    floor (0.12139892578125 × 8192)
    floor (994.5)     		ty = 994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5156 / 994 ti = "13/5156/994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5156/994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5156 ÷ 213
    5156 ÷ 8192     		x = 0.62939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 994 ÷ 213
    994 ÷ 8192     		y = 0.121337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62939453125 × 2 - 1) × π
    0.2587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81300982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121337890625 × 2 - 1) × π
    0.75732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.37920420194263
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81300982} λ = 0.81300982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37920420194263))-π/2
    2×atan(10.7963077636577)-π/2
    2×1.47843559552884-π/2
    2.95687119105767-1.57079632675     		φ = 1.38607486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81300982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.582031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38607486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.416240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5156 KachelY 994 0.81300982 1.38607486 46.582031 79.416240
    Oben rechts KachelX + 1 5157 KachelY 994 0.81377681 1.38607486 46.625977 79.416240
    Unten links KachelX 5156 KachelY + 1 995 0.81300982 1.38593394 46.582031 79.408165
    Unten rechts KachelX + 1 5157 KachelY + 1 995 0.81377681 1.38593394 46.625977 79.408165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38607486-1.38593394) × R
    0.000140919999999989 × 6371000     		dl = 897.801319999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38607486-1.38593394) × R
    0.000140919999999989 × 6371000     		dr = 897.801319999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81300982-0.81377681) × cos(1.38607486) × R
    0.000766990000000023 × 0.183672746011926 × 6371000     		do = 897.515640943179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81300982-0.81377681) × cos(1.38593394) × R
    0.000766990000000023 × 0.183811266778873 × 6371000     		du = 898.192521741388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38607486)-sin(1.38593394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183672746011926-0.183811266778873)×R²
    abs(0.81377681-0.81300982)×0.000138520766946343×R²
    0.000766990000000023×0.000138520766946343×6371000²
    0.000766990000000023×0.000138520766946343×40589641000000     		ar = 806094.580728145m²