Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 5156 / 914
↖ ↑ ↗
← N 80.042864°
E 46.582031°		 ← 844.93 m → N 80.042864°
E 46.625977°		 →
↑
845.30 m
↓
↑
845.30 m
↓
N 80.035262°
E 46.582031°		 ← 845.57 m →
714 493 m²		 N 80.035262°
E 46.625977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62945556640625 y=0.11163330078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62945556640625 × 213)
    floor (0.62945556640625 × 8192)
    floor (5156.5)     		tx = 5156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11163330078125 × 213)
    floor (0.11163330078125 × 8192)
    floor (914.5)     		ty = 914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5156 / 914 ti = "13/5156/914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5156/914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5156 ÷ 213
    5156 ÷ 8192     		x = 0.62939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 914 ÷ 213
    914 ÷ 8192     		y = 0.111572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62939453125 × 2 - 1) × π
    0.2587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81300982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111572265625 × 2 - 1) × π
    0.77685546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.4405634334563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81300982} λ = 0.81300982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4405634334563))-π/2
    2×atan(11.4795068592369)-π/2
    2×1.48390392095357-π/2
    2.96780784190713-1.57079632675     		φ = 1.39701152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81300982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.582031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39701152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.042864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5156 KachelY 914 0.81300982 1.39701152 46.582031 80.042864
    Oben rechts KachelX + 1 5157 KachelY 914 0.81377681 1.39701152 46.625977 80.042864
    Unten links KachelX 5156 KachelY + 1 915 0.81300982 1.39687884 46.582031 80.035262
    Unten rechts KachelX + 1 5157 KachelY + 1 915 0.81377681 1.39687884 46.625977 80.035262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39701152-1.39687884) × R
    0.000132679999999885 × 6371000     		dl = 845.304279999268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39701152-1.39687884) × R
    0.000132679999999885 × 6371000     		dr = 845.304279999268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81300982-0.81377681) × cos(1.39701152) × R
    0.000766990000000023 × 0.172911376336893 × 6371000     		do = 844.930280234918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81300982-0.81377681) × cos(1.39687884) × R
    0.000766990000000023 × 0.173042056307027 × 6371000     		du = 845.568847032114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39701152)-sin(1.39687884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172911376336893-0.173042056307027)×R²
    abs(0.81377681-0.81300982)×0.000130679970133801×R²
    0.000766990000000023×0.000130679970133801×6371000²
    0.000766990000000023×0.000130679970133801×40589641000000     		ar = 714493.074853188m²