Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 5155 / 993
↖ ↑ ↗
← N 79.424309°
E 46.538086°		 ← 896.84 m → N 79.424309°
E 46.582031°		 →
↑
897.23 m
↓
↑
897.23 m
↓
N 79.416240°
E 46.538086°		 ← 897.52 m →
804 973 m²		 N 79.416240°
E 46.582031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62933349609375 y=0.12127685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62933349609375 × 213)
    floor (0.62933349609375 × 8192)
    floor (5155.5)     		tx = 5155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12127685546875 × 213)
    floor (0.12127685546875 × 8192)
    floor (993.5)     		ty = 993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5155 / 993 ti = "13/5155/993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5155/993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5155 ÷ 213
    5155 ÷ 8192     		x = 0.6292724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 993 ÷ 213
    993 ÷ 8192     		y = 0.1212158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6292724609375 × 2 - 1) × π
    0.258544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81224283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1212158203125 × 2 - 1) × π
    0.757568359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.37997119233655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81224283} λ = 0.81224283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37997119233655))-π/2
    2×atan(10.8045916044093)-π/2
    2×1.47850600659664-π/2
    2.95701201319328-1.57079632675     		φ = 1.38621569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81224283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.538086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38621569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.424309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5155 KachelY 993 0.81224283 1.38621569 46.538086 79.424309
    Oben rechts KachelX + 1 5156 KachelY 993 0.81300982 1.38621569 46.582031 79.424309
    Unten links KachelX 5155 KachelY + 1 994 0.81224283 1.38607486 46.538086 79.416240
    Unten rechts KachelX + 1 5156 KachelY + 1 994 0.81300982 1.38607486 46.582031 79.416240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38621569-1.38607486) × R
    0.000140830000000092 × 6371000     		dl = 897.227930000584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38621569-1.38607486) × R
    0.000140830000000092 × 6371000     		dr = 897.227930000584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81224283-0.81300982) × cos(1.38621569) × R
    0.000766990000000023 × 0.183534310068723 × 6371000     		do = 896.83917463562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81224283-0.81300982) × cos(1.38607486) × R
    0.000766990000000023 × 0.183672746011926 × 6371000     		du = 897.515640943179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38621569)-sin(1.38607486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183534310068723-0.183672746011926)×R²
    abs(0.81300982-0.81224283)×0.000138435943203674×R²
    0.000766990000000023×0.000138435943203674×6371000²
    0.000766990000000023×0.000138435943203674×40589641000000     		ar = 804972.629767301m²