Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5155 / 911
↖ ↑ ↗
← N 80.065634°
E 46.538086°		 ← 843.02 m → N 80.065634°
E 46.582031°		 →
↑
843.33 m
↓
↑
843.33 m
↓
N 80.058050°
E 46.538086°		 ← 843.65 m →
711 210 m²		 N 80.058050°
E 46.582031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62933349609375 y=0.11126708984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62933349609375 × 213)
    floor (0.62933349609375 × 8192)
    floor (5155.5)     		tx = 5155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11126708984375 × 213)
    floor (0.11126708984375 × 8192)
    floor (911.5)     		ty = 911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5155 / 911 ti = "13/5155/911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5155/911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5155 ÷ 213
    5155 ÷ 8192     		x = 0.6292724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 911 ÷ 213
    911 ÷ 8192     		y = 0.1112060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6292724609375 × 2 - 1) × π
    0.258544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81224283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1112060546875 × 2 - 1) × π
    0.777587890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.44286440463806
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81224283} λ = 0.81224283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44286440463806))-π/2
    2×atan(11.5059512859653)-π/2
    2×1.48410262774994-π/2
    2.96820525549988-1.57079632675     		φ = 1.39740893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81224283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.538086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39740893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.065634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5155 KachelY 911 0.81224283 1.39740893 46.538086 80.065634
    Oben rechts KachelX + 1 5156 KachelY 911 0.81300982 1.39740893 46.582031 80.065634
    Unten links KachelX 5155 KachelY + 1 912 0.81224283 1.39727656 46.538086 80.058050
    Unten rechts KachelX + 1 5156 KachelY + 1 912 0.81300982 1.39727656 46.582031 80.058050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39740893-1.39727656) × R
    0.000132370000000215 × 6371000     		dl = 843.329270001369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39740893-1.39727656) × R
    0.000132370000000215 × 6371000     		dr = 843.329270001369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81224283-0.81300982) × cos(1.39740893) × R
    0.000766990000000023 × 0.172519938725951 × 6371000     		do = 843.017522975595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81224283-0.81300982) × cos(1.39727656) × R
    0.000766990000000023 × 0.172650322461766 × 6371000     		du = 843.65464222578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39740893)-sin(1.39727656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172519938725951-0.172650322461766)×R²
    abs(0.81300982-0.81224283)×0.000130383735815115×R²
    0.000766990000000023×0.000130383735815115×6371000²
    0.000766990000000023×0.000130383735815115×40589641000000     		ar = 711210.003945435m²