Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 5154 / 919
↖ ↑ ↗
← N 80.004798°
E 46.494141°		 ← 848.13 m → N 80.004798°
E 46.538086°		 →
↑
848.43 m
↓
↑
848.43 m
↓
N 79.997168°
E 46.494141°		 ← 848.77 m →
719 845 m²		 N 79.997168°
E 46.538086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62921142578125 y=0.11224365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62921142578125 × 213)
    floor (0.62921142578125 × 8192)
    floor (5154.5)     		tx = 5154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11224365234375 × 213)
    floor (0.11224365234375 × 8192)
    floor (919.5)     		ty = 919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5154 / 919 ti = "13/5154/919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5154/919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5154 ÷ 213
    5154 ÷ 8192     		x = 0.629150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 919 ÷ 213
    919 ÷ 8192     		y = 0.1121826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629150390625 × 2 - 1) × π
    0.25830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81147584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1121826171875 × 2 - 1) × π
    0.775634765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.43672848148669
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81147584} λ = 0.81147584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43672848148669))-π/2
    2×atan(11.4355678077235)-π/2
    2×1.48357174059826-π/2
    2.96714348119652-1.57079632675     		φ = 1.39634715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81147584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.494141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39634715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.004798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5154 KachelY 919 0.81147584 1.39634715 46.494141 80.004798
    Oben rechts KachelX + 1 5155 KachelY 919 0.81224283 1.39634715 46.538086 80.004798
    Unten links KachelX 5154 KachelY + 1 920 0.81147584 1.39621398 46.494141 79.997168
    Unten rechts KachelX + 1 5155 KachelY + 1 920 0.81224283 1.39621398 46.538086 79.997168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39634715-1.39621398) × R
    0.000133170000000016 × 6371000     		dl = 848.4260700001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39634715-1.39621398) × R
    0.000133170000000016 × 6371000     		dr = 848.4260700001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81147584-0.81224283) × cos(1.39634715) × R
    0.000766990000000023 × 0.173565700979971 × 6371000     		do = 848.127633212798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81147584-0.81224283) × cos(1.39621398) × R
    0.000766990000000023 × 0.173696848225222 × 6371000     		du = 848.768483346721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39634715)-sin(1.39621398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173565700979971-0.173696848225222)×R²
    abs(0.81224283-0.81147584)×0.000131147245251484×R²
    0.000766990000000023×0.000131147245251484×6371000²
    0.000766990000000023×0.000131147245251484×40589641000000     		ar = 719845.452748404m²