Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51539 / 49841
↖ ↑ ↗
← S 67.976694°
E103.112183°		 ← 229.04 m → S 67.976694°
E103.117676°		 →
↑
229.04 m
↓
↑
229.04 m
↓
S 67.978754°
E103.112183°		 ← 229.02 m →
52 455 m²		 S 67.978754°
E103.117676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.786430358886719 y=0.760520935058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.786430358886719 × 216)
    floor (0.786430358886719 × 65536)
    floor (51539.5)     		tx = 51539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760520935058594 × 216)
    floor (0.760520935058594 × 65536)
    floor (49841.5)     		ty = 49841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51539 / 49841 ti = "16/51539/49841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51539/49841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51539 ÷ 216
    51539 ÷ 65536     		x = 0.786422729492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49841 ÷ 216
    49841 ÷ 65536     		y = 0.760513305664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.786422729492188 × 2 - 1) × π
    0.572845458984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.79964709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760513305664062 × 2 - 1) × π
    -0.521026611328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63685337442644
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79964709} λ = 1.79964709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63685337442644))-π/2
    2×atan(0.194591386183466)-π/2
    2×0.192189601813012-π/2
    0.384379203626024-1.57079632675     		φ = -1.18641712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79964709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.112183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18641712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.976694°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51539 KachelY 49841 1.79964709 -1.18641712 103.112183 -67.976694
    Oben rechts KachelX + 1 51540 KachelY 49841 1.79974296 -1.18641712 103.117676 -67.976694
    Unten links KachelX 51539 KachelY + 1 49842 1.79964709 -1.18645307 103.112183 -67.978754
    Unten rechts KachelX + 1 51540 KachelY + 1 49842 1.79974296 -1.18645307 103.117676 -67.978754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18641712--1.18645307) × R
    3.59500000000068e-05 × 6371000     		dl = 229.037450000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18641712--1.18645307) × R
    3.59500000000068e-05 × 6371000     		dr = 229.037450000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79964709-1.79974296) × cos(-1.18641712) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.374983714247675 × 6371000     		do = 229.03546661165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79964709-1.79974296) × cos(-1.18645307) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.374950387226587 × 6371000     		du = 229.015110874758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18641712)-sin(-1.18645307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374983714247675-0.374950387226587)×R²
    abs(1.79974296-1.79964709)×3.33270210886027e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.33270210886027e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.33270210886027e-05×40589641000000     		ar = 52455.3681251883m²