Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51534 / 49843
↖ ↑ ↗
← S 67.980813°
E103.084717°		 ← 228.99 m → S 67.980813°
E103.090210°		 →
↑
228.97 m
↓
↑
228.97 m
↓
S 67.982872°
E103.084717°		 ← 228.97 m →
52 431 m²		 S 67.982872°
E103.090210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.786354064941406 y=0.760551452636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.786354064941406 × 216)
    floor (0.786354064941406 × 65536)
    floor (51534.5)     		tx = 51534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760551452636719 × 216)
    floor (0.760551452636719 × 65536)
    floor (49843.5)     		ty = 49843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51534 / 49843 ti = "16/51534/49843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51534/49843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51534 ÷ 216
    51534 ÷ 65536     		x = 0.786346435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49843 ÷ 216
    49843 ÷ 65536     		y = 0.760543823242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.786346435546875 × 2 - 1) × π
    0.57269287109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.79916772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760543823242188 × 2 - 1) × π
    -0.521087646484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.63704512202492
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79916772} λ = 1.79916772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63704512202492))-π/2
    2×atan(0.194554077329536)-π/2
    2×0.192153653895061-π/2
    0.384307307790122-1.57079632675     		φ = -1.18648902
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79916772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.084717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18648902 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.980813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51534 KachelY 49843 1.79916772 -1.18648902 103.084717 -67.980813
    Oben rechts KachelX + 1 51535 KachelY 49843 1.79926359 -1.18648902 103.090210 -67.980813
    Unten links KachelX 51534 KachelY + 1 49844 1.79916772 -1.18652496 103.084717 -67.982872
    Unten rechts KachelX + 1 51535 KachelY + 1 49844 1.79926359 -1.18652496 103.090210 -67.982872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18648902--1.18652496) × R
    3.59400000000676e-05 × 6371000     		dl = 228.973740000431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18648902--1.18652496) × R
    3.59400000000676e-05 × 6371000     		dr = 228.973740000431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79916772-1.79926359) × cos(-1.18648902) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.374917059720911 × 6371000     		do = 228.994754841887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79916772-1.79926359) × cos(-1.18652496) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.37488374100141 × 6371000     		du = 228.974404175504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18648902)-sin(-1.18652496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374917059720911-0.37488374100141)×R²
    abs(1.79926359-1.79916772)×3.33187195008522e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.33187195008522e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.33187195008522e-05×40589641000000     		ar = 52431.4555784553m²