Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51531 / 49847
↖ ↑ ↗
← S 67.989050°
E103.068238°		 ← 228.91 m → S 67.989050°
E103.073731°		 →
↑
228.91 m
↓
↑
228.91 m
↓
S 67.991108°
E103.068238°		 ← 228.89 m →
52 398 m²		 S 67.991108°
E103.073731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.786308288574219 y=0.760612487792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.786308288574219 × 216)
    floor (0.786308288574219 × 65536)
    floor (51531.5)     		tx = 51531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760612487792969 × 216)
    floor (0.760612487792969 × 65536)
    floor (49847.5)     		ty = 49847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51531 / 49847 ti = "16/51531/49847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51531/49847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51531 ÷ 216
    51531 ÷ 65536     		x = 0.786300659179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49847 ÷ 216
    49847 ÷ 65536     		y = 0.760604858398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.786300659179688 × 2 - 1) × π
    0.572601318359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.79888010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760604858398438 × 2 - 1) × π
    -0.521209716796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.63742861722188
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79888010} λ = 1.79888010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63742861722188))-π/2
    2×atan(0.194479481079897)-π/2
    2×0.192081777226942-π/2
    0.384163554453884-1.57079632675     		φ = -1.18663277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79888010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.068238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18663277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.989050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51531 KachelY 49847 1.79888010 -1.18663277 103.068238 -67.989050
    Oben rechts KachelX + 1 51532 KachelY 49847 1.79897597 -1.18663277 103.073731 -67.989050
    Unten links KachelX 51531 KachelY + 1 49848 1.79888010 -1.18666870 103.068238 -67.991108
    Unten rechts KachelX + 1 51532 KachelY + 1 49848 1.79897597 -1.18666870 103.073731 -67.991108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18663277--1.18666870) × R
    3.59300000001284e-05 × 6371000     		dl = 228.910030000818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18663277--1.18666870) × R
    3.59300000001284e-05 × 6371000     		dr = 228.910030000818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79888010-1.79897597) × cos(-1.18663277) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.374783791208816 × 6371000     		do = 228.913356064573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79888010-1.79897597) × cos(-1.18666870) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.37475047982404 × 6371000     		du = 228.89300987815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18663277)-sin(-1.18666870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374783791208816-0.37475047982404)×R²
    abs(1.79897597-1.79888010)×3.33113847755806e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.33113847755806e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.33113847755806e-05×40589641000000     		ar = 52398.2344868423m²