Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5153 / 921
↖ ↑ ↗
← N 79.989533°
E 46.450196°		 ← 849.41 m → N 79.989533°
E 46.494141°		 →
↑
849.76 m
↓
↑
849.76 m
↓
N 79.981890°
E 46.450196°		 ← 850.05 m →
722 071 m²		 N 79.981890°
E 46.494141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62908935546875 y=0.11248779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62908935546875 × 213)
    floor (0.62908935546875 × 8192)
    floor (5153.5)     		tx = 5153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11248779296875 × 213)
    floor (0.11248779296875 × 8192)
    floor (921.5)     		ty = 921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5153 / 921 ti = "13/5153/921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5153/921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5153 ÷ 213
    5153 ÷ 8192     		x = 0.6290283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 921 ÷ 213
    921 ÷ 8192     		y = 0.1124267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6290283203125 × 2 - 1) × π
    0.258056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81070885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1124267578125 × 2 - 1) × π
    0.775146484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.43519450069885
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81070885} λ = 0.81070885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43519450069885))-π/2
    2×atan(11.4180393140319)-π/2
    2×1.48343851677262-π/2
    2.96687703354524-1.57079632675     		φ = 1.39608071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81070885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.450196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39608071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.989533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5153 KachelY 921 0.81070885 1.39608071 46.450196 79.989533
    Oben rechts KachelX + 1 5154 KachelY 921 0.81147584 1.39608071 46.494141 79.989533
    Unten links KachelX 5153 KachelY + 1 922 0.81070885 1.39594733 46.450196 79.981890
    Unten rechts KachelX + 1 5154 KachelY + 1 922 0.81147584 1.39594733 46.494141 79.981890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39608071-1.39594733) × R
    0.00013337999999985 × 6371000     		dl = 849.763979999043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39608071-1.39594733) × R
    0.00013337999999985 × 6371000     		dr = 849.763979999043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81070885-0.81147584) × cos(1.39608071) × R
    0.000766989999999912 × 0.173828090867693 × 6371000     		do = 849.409799638393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81070885-0.81147584) × cos(1.39594733) × R
    0.000766989999999912 × 0.173959438745632 × 6371000     		du = 850.051630162599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39608071)-sin(1.39594733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173828090867693-0.173959438745632)×R²
    abs(0.81147584-0.81070885)×0.000131347877939281×R²
    0.000766989999999912×0.000131347877939281×6371000²
    0.000766989999999912×0.000131347877939281×40589641000000     		ar = 722070.555289293m²