Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5153 / 1197
↖ ↑ ↗
← N 77.645947°
E 46.450196°		 ← 1 045.48 m → N 77.645947°
E 46.494141°		 →
↑
1 045.86 m
↓
↑
1 045.86 m
↓
N 77.636542°
E 46.450196°		 ← 1 046.26 m →
1 093 834 m²		 N 77.636542°
E 46.494141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62908935546875 y=0.14617919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62908935546875 × 213)
    floor (0.62908935546875 × 8192)
    floor (5153.5)     		tx = 5153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14617919921875 × 213)
    floor (0.14617919921875 × 8192)
    floor (1197.5)     		ty = 1197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5153 / 1197 ti = "13/5153/1197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5153/1197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5153 ÷ 213
    5153 ÷ 8192     		x = 0.6290283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1197 ÷ 213
    1197 ÷ 8192     		y = 0.1461181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6290283203125 × 2 - 1) × π
    0.258056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81070885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1461181640625 × 2 - 1) × π
    0.707763671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.22350515197668
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81070885} λ = 0.81070885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22350515197668))-π/2
    2×atan(9.23966058705935)-π/2
    2×1.46298687936545-π/2
    2.9259737587309-1.57079632675     		φ = 1.35517743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81070885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.450196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35517743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.645947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5153 KachelY 1197 0.81070885 1.35517743 46.450196 77.645947
    Oben rechts KachelX + 1 5154 KachelY 1197 0.81147584 1.35517743 46.494141 77.645947
    Unten links KachelX 5153 KachelY + 1 1198 0.81070885 1.35501327 46.450196 77.636542
    Unten rechts KachelX + 1 5154 KachelY + 1 1198 0.81147584 1.35501327 46.494141 77.636542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35517743-1.35501327) × R
    0.000164159999999969 × 6371000     		dl = 1045.8633599998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35517743-1.35501327) × R
    0.000164159999999969 × 6371000     		dr = 1045.8633599998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81070885-0.81147584) × cos(1.35517743) × R
    0.000766989999999912 × 0.213952034961669 × 6371000     		do = 1045.47518322192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81070885-0.81147584) × cos(1.35501327) × R
    0.000766989999999912 × 0.214112390816571 × 6371000     		du = 1046.25876103091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35517743)-sin(1.35501327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213952034961669-0.214112390816571)×R²
    abs(0.81147584-0.81070885)×0.0001603558549019×R²
    0.000766989999999912×0.0001603558549019×6371000²
    0.000766989999999912×0.0001603558549019×40589641000000     		ar = 1093833.94803543m²