Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5153 / 1182
↖ ↑ ↗
← N 77.786191°
E 46.450196°		 ← 1 033.79 m → N 77.786191°
E 46.494141°		 →
↑
1 034.20 m
↓
↑
1 034.20 m
↓
N 77.776890°
E 46.450196°		 ← 1 034.56 m →
1 069 549 m²		 N 77.776890°
E 46.494141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62908935546875 y=0.14434814453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62908935546875 × 213)
    floor (0.62908935546875 × 8192)
    floor (5153.5)     		tx = 5153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14434814453125 × 213)
    floor (0.14434814453125 × 8192)
    floor (1182.5)     		ty = 1182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5153 / 1182 ti = "13/5153/1182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5153/1182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5153 ÷ 213
    5153 ÷ 8192     		x = 0.6290283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1182 ÷ 213
    1182 ÷ 8192     		y = 0.144287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6290283203125 × 2 - 1) × π
    0.258056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81070885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144287109375 × 2 - 1) × π
    0.71142578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.2350100078855
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81070885} λ = 0.81070885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2350100078855))-π/2
    2×atan(9.34657539118488)-π/2
    2×1.4642107318046-π/2
    2.9284214636092-1.57079632675     		φ = 1.35762514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81070885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.450196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35762514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.786191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5153 KachelY 1182 0.81070885 1.35762514 46.450196 77.786191
    Oben rechts KachelX + 1 5154 KachelY 1182 0.81147584 1.35762514 46.494141 77.786191
    Unten links KachelX 5153 KachelY + 1 1183 0.81070885 1.35746281 46.450196 77.776890
    Unten rechts KachelX + 1 5154 KachelY + 1 1183 0.81147584 1.35746281 46.494141 77.776890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35762514-1.35746281) × R
    0.000162329999999988 × 6371000     		dl = 1034.20442999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35762514-1.35746281) × R
    0.000162329999999988 × 6371000     		dr = 1034.20442999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81070885-0.81147584) × cos(1.35762514) × R
    0.000766989999999912 × 0.211560365189643 × 6371000     		do = 1033.78830492902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81070885-0.81147584) × cos(1.35746281) × R
    0.000766989999999912 × 0.211719018051072 × 6371000     		du = 1034.56356107184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35762514)-sin(1.35746281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211560365189643-0.211719018051072)×R²
    abs(0.81147584-0.81070885)×0.000158652861429132×R²
    0.000766989999999912×0.000158652861429132×6371000²
    0.000766989999999912×0.000158652861429132×40589641000000     		ar = 1069549.33365844m²