Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51527 / 49849
↖ ↑ ↗
← S 67.993167°
E103.046265°		 ← 228.87 m → S 67.993167°
E103.051758°		 →
↑
228.85 m
↓
↑
228.85 m
↓
S 67.995225°
E103.046265°		 ← 228.85 m →
52 374 m²		 S 67.995225°
E103.051758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.786247253417969 y=0.760643005371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.786247253417969 × 216)
    floor (0.786247253417969 × 65536)
    floor (51527.5)     		tx = 51527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760643005371094 × 216)
    floor (0.760643005371094 × 65536)
    floor (49849.5)     		ty = 49849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51527 / 49849 ti = "16/51527/49849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51527/49849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51527 ÷ 216
    51527 ÷ 65536     		x = 0.786239624023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49849 ÷ 216
    49849 ÷ 65536     		y = 0.760635375976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.786239624023438 × 2 - 1) × π
    0.572479248046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.79849660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760635375976562 × 2 - 1) × π
    -0.521270751953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63762036482036
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79849660} λ = 1.79849660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63762036482036))-π/2
    2×atan(0.194442193681445)-π/2
    2×0.192045848474874-π/2
    0.384091696949747-1.57079632675     		φ = -1.18670463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79849660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.046265°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18670463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.993167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51527 KachelY 49849 1.79849660 -1.18670463 103.046265 -67.993167
    Oben rechts KachelX + 1 51528 KachelY 49849 1.79859247 -1.18670463 103.051758 -67.993167
    Unten links KachelX 51527 KachelY + 1 49850 1.79849660 -1.18674055 103.046265 -67.995225
    Unten rechts KachelX + 1 51528 KachelY + 1 49850 1.79859247 -1.18674055 103.051758 -67.995225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18670463--1.18674055) × R
    3.59199999999671e-05 × 6371000     		dl = 228.84631999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18670463--1.18674055) × R
    3.59199999999671e-05 × 6371000     		dr = 228.84631999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79849660-1.79859247) × cos(-1.18670463) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.374717167955475 × 6371000     		do = 228.872663396235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79849660-1.79859247) × cos(-1.18674055) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.374683864874689 × 6371000     		du = 228.852322281788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18670463)-sin(-1.18674055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374717167955475-0.374683864874689)×R²
    abs(1.79859247-1.79849660)×3.3303080785585e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.3303080785585e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.3303080785585e-05×40589641000000     		ar = 52374.3392781082m²