Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51515 / 49658
↖ ↑ ↗
← S 67.596662°
E102.980346°		 ← 232.81 m → S 67.596662°
E102.985840°		 →
↑
232.80 m
↓
↑
232.80 m
↓
S 67.598756°
E102.980346°		 ← 232.79 m →
54 195 m²		 S 67.598756°
E102.985840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.786064147949219 y=0.757728576660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.786064147949219 × 216)
    floor (0.786064147949219 × 65536)
    floor (51515.5)     		tx = 51515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757728576660156 × 216)
    floor (0.757728576660156 × 65536)
    floor (49658.5)     		ty = 49658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51515 / 49658 ti = "16/51515/49658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51515/49658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51515 ÷ 216
    51515 ÷ 65536     		x = 0.786056518554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49658 ÷ 216
    49658 ÷ 65536     		y = 0.757720947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.786056518554688 × 2 - 1) × π
    0.572113037109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.79734611
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757720947265625 × 2 - 1) × π
    -0.51544189453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6193084691655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79734611} λ = 1.79734611}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6193084691655))-π/2
    2×atan(0.198035599466101)-π/2
    2×0.195506001613514-π/2
    0.391012003227028-1.57079632675     		φ = -1.17978432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79734611} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.980346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17978432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.596662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51515 KachelY 49658 1.79734611 -1.17978432 102.980346 -67.596662
    Oben rechts KachelX + 1 51516 KachelY 49658 1.79744199 -1.17978432 102.985840 -67.596662
    Unten links KachelX 51515 KachelY + 1 49659 1.79734611 -1.17982086 102.980346 -67.598756
    Unten rechts KachelX + 1 51516 KachelY + 1 49659 1.79744199 -1.17982086 102.985840 -67.598756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17978432--1.17982086) × R
    3.65399999999738e-05 × 6371000     		dl = 232.796339999833m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17978432--1.17982086) × R
    3.65399999999738e-05 × 6371000     		dr = 232.796339999833m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79734611-1.79744199) × cos(-1.17978432) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.381124234530188 × 6371000     		do = 232.81030272648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79734611-1.79744199) × cos(-1.17982086) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.381090452174903 × 6371000     		du = 232.789666724756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17978432)-sin(-1.17982086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381124234530188-0.381090452174903)×R²
    abs(1.79744199-1.79734611)×3.37823552847838e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.37823552847838e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.37823552847838e-05×40589641000000     		ar = 54194.9844020383m²