Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51512 / 49816
↖ ↑ ↗
← S 67.925141°
E102.963867°		 ← 229.57 m → S 67.925141°
E102.969361°		 →
↑
229.55 m
↓
↑
229.55 m
↓
S 67.927205°
E102.963867°		 ← 229.55 m →
52 695 m²		 S 67.927205°
E102.969361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.786018371582031 y=0.760139465332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.786018371582031 × 216)
    floor (0.786018371582031 × 65536)
    floor (51512.5)     		tx = 51512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760139465332031 × 216)
    floor (0.760139465332031 × 65536)
    floor (49816.5)     		ty = 49816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51512 / 49816 ti = "16/51512/49816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51512/49816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51512 ÷ 216
    51512 ÷ 65536     		x = 0.7860107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49816 ÷ 216
    49816 ÷ 65536     		y = 0.7601318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7860107421875 × 2 - 1) × π
    0.572021484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.79705849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7601318359375 × 2 - 1) × π
    -0.520263671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.63445652944543
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79705849} λ = 1.79705849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63445652944543))-π/2
    2×atan(0.195058350968333)-π/2
    2×0.192639490295502-π/2
    0.385278980591005-1.57079632675     		φ = -1.18551735
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79705849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.963867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18551735 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.925141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51512 KachelY 49816 1.79705849 -1.18551735 102.963867 -67.925141
    Oben rechts KachelX + 1 51513 KachelY 49816 1.79715437 -1.18551735 102.969361 -67.925141
    Unten links KachelX 51512 KachelY + 1 49817 1.79705849 -1.18555338 102.963867 -67.927205
    Unten rechts KachelX + 1 51513 KachelY + 1 49817 1.79715437 -1.18555338 102.969361 -67.927205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18551735--1.18555338) × R
    3.60299999999647e-05 × 6371000     		dl = 229.547129999775m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18551735--1.18555338) × R
    3.60299999999647e-05 × 6371000     		dr = 229.547129999775m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79705849-1.79715437) × cos(-1.18551735) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.375817677385892 × 6371000     		do = 229.568784441184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79705849-1.79715437) × cos(-1.18555338) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.375784288370679 × 6371000     		du = 229.548388711825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18551735)-sin(-1.18555338))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375817677385892-0.375784288370679)×R²
    abs(1.79715437-1.79705849)×3.33890152131033e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.33890152131033e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.33890152131033e-05×40589641000000     		ar = 52694.5147211846m²