Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5151 / 917
↖ ↑ ↗
← N 80.020042°
E 46.362305°		 ← 846.85 m → N 80.020042°
E 46.406250°		 →
↑
847.15 m
↓
↑
847.15 m
↓
N 80.012423°
E 46.362305°		 ← 847.49 m →
717 679 m²		 N 80.012423°
E 46.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62884521484375 y=0.11199951171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62884521484375 × 213)
    floor (0.62884521484375 × 8192)
    floor (5151.5)     		tx = 5151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11199951171875 × 213)
    floor (0.11199951171875 × 8192)
    floor (917.5)     		ty = 917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5151 / 917 ti = "13/5151/917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5151/917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5151 ÷ 213
    5151 ÷ 8192     		x = 0.6287841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 917 ÷ 213
    917 ÷ 8192     		y = 0.1119384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6287841796875 × 2 - 1) × π
    0.257568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80917487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1119384765625 × 2 - 1) × π
    0.776123046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.43826246227454
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80917487} λ = 0.80917487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43826246227454))-π/2
    2×atan(11.4531232104214)-π/2
    2×1.48370476331483-π/2
    2.96740952662965-1.57079632675     		φ = 1.39661320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80917487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.362305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39661320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.020042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5151 KachelY 917 0.80917487 1.39661320 46.362305 80.020042
    Oben rechts KachelX + 1 5152 KachelY 917 0.80994186 1.39661320 46.406250 80.020042
    Unten links KachelX 5151 KachelY + 1 918 0.80917487 1.39648023 46.362305 80.012423
    Unten rechts KachelX + 1 5152 KachelY + 1 918 0.80994186 1.39648023 46.406250 80.012423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39661320-1.39648023) × R
    0.000132969999999899 × 6371000     		dl = 847.151869999357m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39661320-1.39648023) × R
    0.000132969999999899 × 6371000     		dr = 847.151869999357m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80917487-0.80994186) × cos(1.39661320) × R
    0.000766990000000023 × 0.173303682869475 × 6371000     		do = 846.847283474002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80917487-0.80994186) × cos(1.39648023) × R
    0.000766990000000023 × 0.173434639292747 × 6371000     		du = 847.487201157603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39661320)-sin(1.39648023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173303682869475-0.173434639292747)×R²
    abs(0.80994186-0.80917487)×0.000130956423271933×R²
    0.000766990000000023×0.000130956423271933×6371000²
    0.000766990000000023×0.000130956423271933×40589641000000     		ar = 717679.31458776m²