Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5151 / 7199
↖ ↑ ↗
← N 70.499241°
W123.409424°		 ← 407.79 m → N 70.499241°
W123.398438°		 →
↑
407.81 m
↓
↑
407.81 m
↓
N 70.495574°
W123.409424°		 ← 407.86 m →
166 313 m²		 N 70.495574°
W123.398438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157211303710938 y=0.219711303710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157211303710938 × 215)
    floor (0.157211303710938 × 32768)
    floor (5151.5)     		tx = 5151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219711303710938 × 215)
    floor (0.219711303710938 × 32768)
    floor (7199.5)     		ty = 7199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5151 / 7199 ti = "15/5151/7199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5151/7199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5151 ÷ 215
    5151 ÷ 32768     		x = 0.157196044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7199 ÷ 215
    7199 ÷ 32768     		y = 0.219696044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157196044921875 × 2 - 1) × π
    -0.68560791015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.15390077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219696044921875 × 2 - 1) × π
    0.56060791015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.76120169204086
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15390077} λ = -2.15390077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76120169204086))-π/2
    2×atan(5.81942635260414)-π/2
    2×1.4006201039956-π/2
    2.80124020799121-1.57079632675     		φ = 1.23044388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15390077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.409424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23044388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.499241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5151 KachelY 7199 -2.15390077 1.23044388 -123.409424 70.499241
    Oben rechts KachelX + 1 5152 KachelY 7199 -2.15370903 1.23044388 -123.398438 70.499241
    Unten links KachelX 5151 KachelY + 1 7200 -2.15390077 1.23037987 -123.409424 70.495574
    Unten rechts KachelX + 1 5152 KachelY + 1 7200 -2.15370903 1.23037987 -123.398438 70.495574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23044388-1.23037987) × R
    6.40100000000032e-05 × 6371000     		dl = 407.807710000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23044388-1.23037987) × R
    6.40100000000032e-05 × 6371000     		dr = 407.807710000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15390077--2.15370903) × cos(1.23044388) × R
    0.000191739999999996 × 0.333819342281501 × 6371000     		do = 407.785543309961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15390077--2.15370903) × cos(1.23037987) × R
    0.000191739999999996 × 0.333879679796468 × 6371000     		du = 407.859250142389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23044388)-sin(1.23037987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333819342281501-0.333879679796468)×R²
    abs(-2.15370903--2.15390077)×6.03375149671459e-05×R²
    0.000191739999999996×6.03375149671459e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.03375149671459e-05×40589641000000     		ar = 166313.117752352m²