Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5151 / 3094
↖ ↑ ↗
← N 81.055714°
W123.409424°		 ← 189.92 m → N 81.055714°
W123.398438°		 →
↑
189.98 m
↓
↑
189.98 m
↓
N 81.054006°
W123.409424°		 ← 189.96 m →
36 086 m²		 N 81.054006°
W123.398438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157211303710938 y=0.0944366455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157211303710938 × 215)
    floor (0.157211303710938 × 32768)
    floor (5151.5)     		tx = 5151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0944366455078125 × 215)
    floor (0.0944366455078125 × 32768)
    floor (3094.5)     		ty = 3094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5151 / 3094 ti = "15/5151/3094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5151/3094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5151 ÷ 215
    5151 ÷ 32768     		x = 0.157196044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3094 ÷ 215
    3094 ÷ 32768     		y = 0.09442138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157196044921875 × 2 - 1) × π
    -0.68560791015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.15390077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09442138671875 × 2 - 1) × π
    0.8111572265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.54832558380218
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15390077} λ = -2.15390077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54832558380218))-π/2
    2×atan(12.7856773040697)-π/2
    2×1.49274270774776-π/2
    2.98548541549553-1.57079632675     		φ = 1.41468909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15390077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.409424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41468909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.055714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5151 KachelY 3094 -2.15390077 1.41468909 -123.409424 81.055714
    Oben rechts KachelX + 1 5152 KachelY 3094 -2.15370903 1.41468909 -123.398438 81.055714
    Unten links KachelX 5151 KachelY + 1 3095 -2.15390077 1.41465927 -123.409424 81.054006
    Unten rechts KachelX + 1 5152 KachelY + 1 3095 -2.15370903 1.41465927 -123.398438 81.054006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41468909-1.41465927) × R
    2.98199999999582e-05 × 6371000     		dl = 189.983219999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41468909-1.41465927) × R
    2.98199999999582e-05 × 6371000     		dr = 189.983219999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15390077--2.15370903) × cos(1.41468909) × R
    0.000191739999999996 × 0.155473967155339 × 6371000     		do = 189.923195383721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15390077--2.15370903) × cos(1.41465927) × R
    0.000191739999999996 × 0.155503424474705 × 6371000     		du = 189.959179724533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41468909)-sin(1.41465927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155473967155339-0.155503424474705)×R²
    abs(-2.15370903--2.15390077)×2.9457319366516e-05×R²
    0.000191739999999996×2.9457319366516e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.9457319366516e-05×40589641000000     		ar = 36085.6384245248m²