Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5151 / 1198
↖ ↑ ↗
← N 77.636542°
E 46.362305°		 ← 1 046.26 m → N 77.636542°
E 46.406250°		 →
↑
1 046.63 m
↓
↑
1 046.63 m
↓
N 77.627129°
E 46.362305°		 ← 1 047.04 m →
1 095 454 m²		 N 77.627129°
E 46.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62884521484375 y=0.14630126953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62884521484375 × 213)
    floor (0.62884521484375 × 8192)
    floor (5151.5)     		tx = 5151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14630126953125 × 213)
    floor (0.14630126953125 × 8192)
    floor (1198.5)     		ty = 1198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5151 / 1198 ti = "13/5151/1198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5151/1198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5151 ÷ 213
    5151 ÷ 8192     		x = 0.6287841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1198 ÷ 213
    1198 ÷ 8192     		y = 0.146240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6287841796875 × 2 - 1) × π
    0.257568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80917487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146240234375 × 2 - 1) × π
    0.70751953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22273816158276
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80917487} λ = 0.80917487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22273816158276))-π/2
    2×atan(9.23257657317856)-π/2
    2×1.46290479904407-π/2
    2.92580959808814-1.57079632675     		φ = 1.35501327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80917487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.362305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35501327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.636542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5151 KachelY 1198 0.80917487 1.35501327 46.362305 77.636542
    Oben rechts KachelX + 1 5152 KachelY 1198 0.80994186 1.35501327 46.406250 77.636542
    Unten links KachelX 5151 KachelY + 1 1199 0.80917487 1.35484899 46.362305 77.627129
    Unten rechts KachelX + 1 5152 KachelY + 1 1199 0.80994186 1.35484899 46.406250 77.627129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35501327-1.35484899) × R
    0.000164279999999906 × 6371000     		dl = 1046.6278799994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35501327-1.35484899) × R
    0.000164279999999906 × 6371000     		dr = 1046.6278799994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80917487-0.80994186) × cos(1.35501327) × R
    0.000766990000000023 × 0.214112390816571 × 6371000     		do = 1046.25876103106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80917487-0.80994186) × cos(1.35484899) × R
    0.000766990000000023 × 0.214272858114327 × 6371000     		du = 1047.04288340481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35501327)-sin(1.35484899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214112390816571-0.214272858114327)×R²
    abs(0.80994186-0.80917487)×0.000160467297755706×R²
    0.000766990000000023×0.000160467297755706×6371000²
    0.000766990000000023×0.000160467297755706×40589641000000     		ar = 1095453.93362221m²