Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5151 / 1196
↖ ↑ ↗
← N 77.655346°
E 46.362305°		 ← 1 044.69 m → N 77.655346°
E 46.406250°		 →
↑
1 045.10 m
↓
↑
1 045.10 m
↓
N 77.645947°
E 46.362305°		 ← 1 045.48 m →
1 092 216 m²		 N 77.645947°
E 46.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62884521484375 y=0.14605712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62884521484375 × 213)
    floor (0.62884521484375 × 8192)
    floor (5151.5)     		tx = 5151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14605712890625 × 213)
    floor (0.14605712890625 × 8192)
    floor (1196.5)     		ty = 1196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5151 / 1196 ti = "13/5151/1196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5151/1196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5151 ÷ 213
    5151 ÷ 8192     		x = 0.6287841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1196 ÷ 213
    1196 ÷ 8192     		y = 0.14599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6287841796875 × 2 - 1) × π
    0.257568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80917487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14599609375 × 2 - 1) × π
    0.7080078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22427214237061
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80917487} λ = 0.80917487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22427214237061))-π/2
    2×atan(9.24675003639494)-π/2
    2×1.46306889821281-π/2
    2.92613779642562-1.57079632675     		φ = 1.35534147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80917487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.362305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35534147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.655346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5151 KachelY 1196 0.80917487 1.35534147 46.362305 77.655346
    Oben rechts KachelX + 1 5152 KachelY 1196 0.80994186 1.35534147 46.406250 77.655346
    Unten links KachelX 5151 KachelY + 1 1197 0.80917487 1.35517743 46.362305 77.645947
    Unten rechts KachelX + 1 5152 KachelY + 1 1197 0.80994186 1.35517743 46.406250 77.645947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35534147-1.35517743) × R
    0.000164040000000032 × 6371000     		dl = 1045.0988400002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35534147-1.35517743) × R
    0.000164040000000032 × 6371000     		dr = 1045.0988400002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80917487-0.80994186) × cos(1.35534147) × R
    0.000766990000000023 × 0.213791790566591 × 6371000     		do = 1044.69215006077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80917487-0.80994186) × cos(1.35517743) × R
    0.000766990000000023 × 0.213952034961669 × 6371000     		du = 1045.47518322207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35534147)-sin(1.35517743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213791790566591-0.213952034961669)×R²
    abs(0.80994186-0.80917487)×0.000160244395077946×R²
    0.000766990000000023×0.000160244395077946×6371000²
    0.000766990000000023×0.000160244395077946×40589641000000     		ar = 1092215.73016104m²