Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51502 / 49714
↖ ↑ ↗
← S 67.713612°
E102.908935°		 ← 231.66 m → S 67.713612°
E102.914429°		 →
↑
231.65 m
↓
↑
231.65 m
↓
S 67.715695°
E102.908935°		 ← 231.64 m →
53 661 m²		 S 67.715695°
E102.914429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785865783691406 y=0.758583068847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785865783691406 × 216)
    floor (0.785865783691406 × 65536)
    floor (51502.5)     		tx = 51502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758583068847656 × 216)
    floor (0.758583068847656 × 65536)
    floor (49714.5)     		ty = 49714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51502 / 49714 ti = "16/51502/49714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51502/49714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51502 ÷ 216
    51502 ÷ 65536     		x = 0.785858154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49714 ÷ 216
    49714 ÷ 65536     		y = 0.758575439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785858154296875 × 2 - 1) × π
    0.57171630859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.79609975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758575439453125 × 2 - 1) × π
    -0.51715087890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62467740192294
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79609975} λ = 1.79609975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62467740192294))-π/2
    2×atan(0.196975208779319)-π/2
    2×0.194485422163751-π/2
    0.388970844327501-1.57079632675     		φ = -1.18182548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79609975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.908935°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18182548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.713612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51502 KachelY 49714 1.79609975 -1.18182548 102.908935 -67.713612
    Oben rechts KachelX + 1 51503 KachelY 49714 1.79619563 -1.18182548 102.914429 -67.713612
    Unten links KachelX 51502 KachelY + 1 49715 1.79609975 -1.18186184 102.908935 -67.715695
    Unten rechts KachelX + 1 51503 KachelY + 1 49715 1.79619563 -1.18186184 102.914429 -67.715695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18182548--1.18186184) × R
    3.63599999999575e-05 × 6371000     		dl = 231.649559999729m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18182548--1.18186184) × R
    3.63599999999575e-05 × 6371000     		dr = 231.649559999729m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79609975-1.79619563) × cos(-1.18182548) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.379236340828347 × 6371000     		do = 231.657080064628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79609975-1.79619563) × cos(-1.18186184) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.379202696675411 × 6371000     		du = 231.636528484014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18182548)-sin(-1.18186184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379236340828347-0.379202696675411)×R²
    abs(1.79619563-1.79609975)×3.36441529360521e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.36441529360521e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.36441529360521e-05×40589641000000     		ar = 53660.880291311m²