Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5150 / 1238
↖ ↑ ↗
← N 77.254479°
E 46.318360°		 ← 1 078.06 m → N 77.254479°
E 46.362305°		 →
↑
1 078.48 m
↓
↑
1 078.48 m
↓
N 77.244780°
E 46.318360°		 ← 1 078.87 m →
1 163 109 m²		 N 77.244780°
E 46.362305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62872314453125 y=0.15118408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62872314453125 × 213)
    floor (0.62872314453125 × 8192)
    floor (5150.5)     		tx = 5150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15118408203125 × 213)
    floor (0.15118408203125 × 8192)
    floor (1238.5)     		ty = 1238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5150 / 1238 ti = "13/5150/1238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5150/1238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5150 ÷ 213
    5150 ÷ 8192     		x = 0.628662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1238 ÷ 213
    1238 ÷ 8192     		y = 0.151123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628662109375 × 2 - 1) × π
    0.25732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.80840788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151123046875 × 2 - 1) × π
    0.69775390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.19205854582593
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80840788} λ = 0.80840788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19205854582593))-π/2
    2×atan(8.95362560533558)-π/2
    2×1.45957067102389-π/2
    2.91914134204779-1.57079632675     		φ = 1.34834502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80840788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.318360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34834502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.254479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5150 KachelY 1238 0.80840788 1.34834502 46.318360 77.254479
    Oben rechts KachelX + 1 5151 KachelY 1238 0.80917487 1.34834502 46.362305 77.254479
    Unten links KachelX 5150 KachelY + 1 1239 0.80840788 1.34817574 46.318360 77.244780
    Unten rechts KachelX + 1 5151 KachelY + 1 1239 0.80917487 1.34817574 46.362305 77.244780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34834502-1.34817574) × R
    0.000169279999999938 × 6371000     		dl = 1078.48287999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34834502-1.34817574) × R
    0.000169279999999938 × 6371000     		dr = 1078.48287999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80840788-0.80917487) × cos(1.34834502) × R
    0.000766990000000023 × 0.220621189073553 × 6371000     		do = 1078.06396003977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80840788-0.80917487) × cos(1.34817574) × R
    0.000766990000000023 × 0.220786294779757 × 6371000     		du = 1078.87074796528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34834502)-sin(1.34817574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220621189073553-0.220786294779757)×R²
    abs(0.80917487-0.80840788)×0.000165105706203927×R²
    0.000766990000000023×0.000165105706203927×6371000²
    0.000766990000000023×0.000165105706203927×40589641000000     		ar = 1163108.58070745m²