Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51491 / 50001
↖ ↑ ↗
← S 68.303935°
E102.848511°		 ← 225.82 m → S 68.303935°
E102.854004°		 →
↑
225.85 m
↓
↑
225.85 m
↓
S 68.305966°
E102.848511°		 ← 225.80 m →
51 000 m²		 S 68.305966°
E102.854004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785697937011719 y=0.762962341308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785697937011719 × 216)
    floor (0.785697937011719 × 65536)
    floor (51491.5)     		tx = 51491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762962341308594 × 216)
    floor (0.762962341308594 × 65536)
    floor (50001.5)     		ty = 50001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51491 / 50001 ti = "16/51491/50001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51491/50001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51491 ÷ 216
    51491 ÷ 65536     		x = 0.785690307617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50001 ÷ 216
    50001 ÷ 65536     		y = 0.762954711914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785690307617188 × 2 - 1) × π
    0.571380615234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.79504514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762954711914062 × 2 - 1) × π
    -0.525909423828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65219318230486
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79504514} λ = 1.79504514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65219318230486))-π/2
    2×atan(0.191629169706736)-π/2
    2×0.189333881447082-π/2
    0.378667762894164-1.57079632675     		φ = -1.19212856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79504514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.848511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19212856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.303935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51491 KachelY 50001 1.79504514 -1.19212856 102.848511 -68.303935
    Oben rechts KachelX + 1 51492 KachelY 50001 1.79514102 -1.19212856 102.854004 -68.303935
    Unten links KachelX 51491 KachelY + 1 50002 1.79504514 -1.19216401 102.848511 -68.305966
    Unten rechts KachelX + 1 51492 KachelY + 1 50002 1.79514102 -1.19216401 102.854004 -68.305966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19212856--1.19216401) × R
    3.54499999999369e-05 × 6371000     		dl = 225.851949999598m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19212856--1.19216401) × R
    3.54499999999369e-05 × 6371000     		dr = 225.851949999598m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79504514-1.79514102) × cos(-1.19212856) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.369682942751855 × 6371000     		do = 225.821372710578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79504514-1.79514102) × cos(-1.19216401) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.369650003869752 × 6371000     		du = 225.801251945696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19212856)-sin(-1.19216401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369682942751855-0.369650003869752)×R²
    abs(1.79514102-1.79504514)×3.29388821032617e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.29388821032617e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.29388821032617e-05×40589641000000     		ar = 50999.9252265183m²