Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5149 / 915
↖ ↑ ↗
← N 80.035262°
E 46.274414°		 ← 845.58 m → N 80.035262°
E 46.318360°		 →
↑
845.88 m
↓
↑
845.88 m
↓
N 80.027655°
E 46.274414°		 ← 846.22 m →
715 527 m²		 N 80.027655°
E 46.318360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62860107421875 y=0.11175537109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62860107421875 × 213)
    floor (0.62860107421875 × 8192)
    floor (5149.5)     		tx = 5149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11175537109375 × 213)
    floor (0.11175537109375 × 8192)
    floor (915.5)     		ty = 915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5149 / 915 ti = "13/5149/915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5149/915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5149 ÷ 213
    5149 ÷ 8192     		x = 0.6285400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 915 ÷ 213
    915 ÷ 8192     		y = 0.1116943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6285400390625 × 2 - 1) × π
    0.257080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80764088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1116943359375 × 2 - 1) × π
    0.776611328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.43979644306238
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80764088} λ = 0.80764088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43979644306238))-π/2
    2×atan(11.4707055634351)-π/2
    2×1.48383758521649-π/2
    2.96767517043299-1.57079632675     		φ = 1.39687884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80764088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.274414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39687884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.035262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5149 KachelY 915 0.80764088 1.39687884 46.274414 80.035262
    Oben rechts KachelX + 1 5150 KachelY 915 0.80840788 1.39687884 46.318360 80.035262
    Unten links KachelX 5149 KachelY + 1 916 0.80764088 1.39674607 46.274414 80.027655
    Unten rechts KachelX + 1 5150 KachelY + 1 916 0.80840788 1.39674607 46.318360 80.027655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39687884-1.39674607) × R
    0.000132770000000004 × 6371000     		dl = 845.877670000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39687884-1.39674607) × R
    0.000132770000000004 × 6371000     		dr = 845.877670000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80764088-0.80840788) × cos(1.39687884) × R
    0.000766999999999962 × 0.173042056307027 × 6371000     		do = 845.579871541454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80764088-0.80840788) × cos(1.39674607) × R
    0.000766999999999962 × 0.173172821871163 × 6371000     		du = 846.218864924242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39687884)-sin(1.39674607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173042056307027-0.173172821871163)×R²
    abs(0.80840788-0.80764088)×0.000130765564136076×R²
    0.000766999999999962×0.000130765564136076×6371000²
    0.000766999999999962×0.000130765564136076×40589641000000     		ar = 715527.387706554m²