Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5149 / 3042
↖ ↑ ↗
← N 81.144099°
W123.431397°		 ← 188.07 m → N 81.144099°
W123.420410°		 →
↑
188.07 m
↓
↑
188.07 m
↓
N 81.142407°
W123.431397°		 ← 188.11 m →
35 374 m²		 N 81.142407°
W123.420410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157150268554688 y=0.0928497314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157150268554688 × 215)
    floor (0.157150268554688 × 32768)
    floor (5149.5)     		tx = 5149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0928497314453125 × 215)
    floor (0.0928497314453125 × 32768)
    floor (3042.5)     		ty = 3042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5149 / 3042 ti = "15/5149/3042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5149/3042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5149 ÷ 215
    5149 ÷ 32768     		x = 0.157135009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3042 ÷ 215
    3042 ÷ 32768     		y = 0.09283447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157135009765625 × 2 - 1) × π
    -0.68572998046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.15428427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09283447265625 × 2 - 1) × π
    0.8143310546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.55829645892316
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15428427} λ = -2.15428427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55829645892316))-π/2
    2×atan(12.913799378938)-π/2
    2×1.49351400845292-π/2
    2.98702801690584-1.57079632675     		φ = 1.41623169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15428427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.431397°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41623169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.144099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5149 KachelY 3042 -2.15428427 1.41623169 -123.431397 81.144099
    Oben rechts KachelX + 1 5150 KachelY 3042 -2.15409252 1.41623169 -123.420410 81.144099
    Unten links KachelX 5149 KachelY + 1 3043 -2.15428427 1.41620217 -123.431397 81.142407
    Unten rechts KachelX + 1 5150 KachelY + 1 3043 -2.15409252 1.41620217 -123.420410 81.142407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41623169-1.41620217) × R
    2.95200000000051e-05 × 6371000     		dl = 188.071920000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41623169-1.41620217) × R
    2.95200000000051e-05 × 6371000     		dr = 188.071920000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15428427--2.15409252) × cos(1.41623169) × R
    0.000191749999999935 × 0.153949940807326 × 6371000     		do = 188.071290225343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15428427--2.15409252) × cos(1.41620217) × R
    0.000191749999999935 × 0.153979108821949 × 6371000     		du = 188.106923016851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41623169)-sin(1.41620217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153949940807326-0.153979108821949)×R²
    abs(-2.15409252--2.15428427)×2.91680146227158e-05×R²
    0.000191749999999935×2.91680146227158e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.91680146227158e-05×40589641000000     		ar = 35374.2794163486m²