Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51484 / 49967
↖ ↑ ↗
← S 68.234786°
E102.810059°		 ← 226.48 m → S 68.234786°
E102.815552°		 →
↑
226.49 m
↓
↑
226.49 m
↓
S 68.236823°
E102.810059°		 ← 226.46 m →
51 294 m²		 S 68.236823°
E102.815552°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785591125488281 y=0.762443542480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785591125488281 × 216)
    floor (0.785591125488281 × 65536)
    floor (51484.5)     		tx = 51484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762443542480469 × 216)
    floor (0.762443542480469 × 65536)
    floor (49967.5)     		ty = 49967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51484 / 49967 ti = "16/51484/49967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51484/49967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51484 ÷ 216
    51484 ÷ 65536     		x = 0.78558349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49967 ÷ 216
    49967 ÷ 65536     		y = 0.762435913085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78558349609375 × 2 - 1) × π
    0.5711669921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.79437403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762435913085938 × 2 - 1) × π
    -0.524871826171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64893347313069
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79437403} λ = 1.79437403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64893347313069))-π/2
    2×atan(0.192254844273811)-π/2
    2×0.1899373241227-π/2
    0.379874648245401-1.57079632675     		φ = -1.19092168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79437403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.810059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19092168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.234786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51484 KachelY 49967 1.79437403 -1.19092168 102.810059 -68.234786
    Oben rechts KachelX + 1 51485 KachelY 49967 1.79446990 -1.19092168 102.815552 -68.234786
    Unten links KachelX 51484 KachelY + 1 49968 1.79437403 -1.19095723 102.810059 -68.236823
    Unten rechts KachelX + 1 51485 KachelY + 1 49968 1.79446990 -1.19095723 102.815552 -68.236823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19092168--1.19095723) × R
    3.55499999999953e-05 × 6371000     		dl = 226.48904999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19092168--1.19095723) × R
    3.55499999999953e-05 × 6371000     		dr = 226.48904999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79437403-1.79446990) × cos(-1.19092168) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.370804055410536 × 6371000     		do = 226.482582111153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79437403-1.79446990) × cos(-1.19095723) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.370771039495761 × 6371000     		du = 226.462416394193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19092168)-sin(-1.19095723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370804055410536-0.370771039495761)×R²
    abs(1.79446990-1.79437403)×3.30159147752251e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.30159147752251e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.30159147752251e-05×40589641000000     		ar = 51293.5412121985m²