Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51483 / 49999
↖ ↑ ↗
← S 68.299873°
E102.804565°		 ← 225.86 m → S 68.299873°
E102.810059°		 →
↑
225.85 m
↓
↑
225.85 m
↓
S 68.301905°
E102.804565°		 ← 225.84 m →
51 009 m²		 S 68.301905°
E102.810059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785575866699219 y=0.762931823730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785575866699219 × 216)
    floor (0.785575866699219 × 65536)
    floor (51483.5)     		tx = 51483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762931823730469 × 216)
    floor (0.762931823730469 × 65536)
    floor (49999.5)     		ty = 49999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51483 / 49999 ti = "16/51483/49999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51483/49999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51483 ÷ 216
    51483 ÷ 65536     		x = 0.785568237304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49999 ÷ 216
    49999 ÷ 65536     		y = 0.762924194335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785568237304688 × 2 - 1) × π
    0.571136474609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.79427815
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762924194335938 × 2 - 1) × π
    -0.525848388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65200143470638
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79427815} λ = 1.79427815}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65200143470638))-π/2
    2×atan(0.19166591766288)-π/2
    2×0.18936932751245-π/2
    0.3787386550249-1.57079632675     		φ = -1.19205767
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79427815} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.804565°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19205767 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.299873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51483 KachelY 49999 1.79427815 -1.19205767 102.804565 -68.299873
    Oben rechts KachelX + 1 51484 KachelY 49999 1.79437403 -1.19205767 102.810059 -68.299873
    Unten links KachelX 51483 KachelY + 1 50000 1.79427815 -1.19209312 102.804565 -68.301905
    Unten rechts KachelX + 1 51484 KachelY + 1 50000 1.79437403 -1.19209312 102.810059 -68.301905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19205767--1.19209312) × R
    3.54499999999369e-05 × 6371000     		dl = 225.851949999598m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19205767--1.19209312) × R
    3.54499999999369e-05 × 6371000     		dr = 225.851949999598m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79427815-1.79437403) × cos(-1.19205767) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.369748809830958 × 6371000     		do = 225.861607713331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79427815-1.79437403) × cos(-1.19209312) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.369715871877928 × 6371000     		du = 225.841487515975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19205767)-sin(-1.19209312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369748809830958-0.369715871877928)×R²
    abs(1.79437403-1.79427815)×3.29379530299989e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.29379530299989e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.29379530299989e-05×40589641000000     		ar = 51009.0124448301m²