Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51480 / 49718
↖ ↑ ↗
← S 67.721944°
E102.788086°		 ← 231.57 m → S 67.721944°
E102.793579°		 →
↑
231.59 m
↓
↑
231.59 m
↓
S 67.724026°
E102.788086°		 ← 231.55 m →
53 627 m²		 S 67.724026°
E102.793579°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785530090332031 y=0.758644104003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785530090332031 × 216)
    floor (0.785530090332031 × 65536)
    floor (51480.5)     		tx = 51480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758644104003906 × 216)
    floor (0.758644104003906 × 65536)
    floor (49718.5)     		ty = 49718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51480 / 49718 ti = "16/51480/49718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51480/49718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51480 ÷ 216
    51480 ÷ 65536     		x = 0.7855224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49718 ÷ 216
    49718 ÷ 65536     		y = 0.758636474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7855224609375 × 2 - 1) × π
    0.571044921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.79399053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758636474609375 × 2 - 1) × π
    -0.51727294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6250608971199
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79399053} λ = 1.79399053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6250608971199))-π/2
    2×atan(0.196899684215411)-π/2
    2×0.194412717407168-π/2
    0.388825434814336-1.57079632675     		φ = -1.18197089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79399053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.788086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18197089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.721944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51480 KachelY 49718 1.79399053 -1.18197089 102.788086 -67.721944
    Oben rechts KachelX + 1 51481 KachelY 49718 1.79408641 -1.18197089 102.793579 -67.721944
    Unten links KachelX 51480 KachelY + 1 49719 1.79399053 -1.18200724 102.788086 -67.724026
    Unten rechts KachelX + 1 51481 KachelY + 1 49719 1.79408641 -1.18200724 102.793579 -67.724026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18197089--1.18200724) × R
    3.63499999997963e-05 × 6371000     		dl = 231.585849998702m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18197089--1.18200724) × R
    3.63499999997963e-05 × 6371000     		dr = 231.585849998702m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79399053-1.79408641) × cos(-1.18197089) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.379101788969481 × 6371000     		do = 231.574888862504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79399053-1.79408641) × cos(-1.18200724) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.379068152065614 × 6371000     		du = 231.554341709994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18197089)-sin(-1.18200724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379101788969481-0.379068152065614)×R²
    abs(1.79408641-1.79399053)×3.36369038669848e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.36369038669848e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.36369038669848e-05×40589641000000     		ar = 53627.0882666813m²