Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51475 / 49987
↖ ↑ ↗
← S 68.275487°
E102.760620°		 ← 226.10 m → S 68.275487°
E102.766113°		 →
↑
226.11 m
↓
↑
226.11 m
↓
S 68.277521°
E102.760620°		 ← 226.08 m →
51 121 m²		 S 68.277521°
E102.766113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785453796386719 y=0.762748718261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785453796386719 × 216)
    floor (0.785453796386719 × 65536)
    floor (51475.5)     		tx = 51475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762748718261719 × 216)
    floor (0.762748718261719 × 65536)
    floor (49987.5)     		ty = 49987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51475 / 49987 ti = "16/51475/49987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51475/49987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51475 ÷ 216
    51475 ÷ 65536     		x = 0.785446166992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49987 ÷ 216
    49987 ÷ 65536     		y = 0.762741088867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785446166992188 × 2 - 1) × π
    0.570892333984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.79351116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762741088867188 × 2 - 1) × π
    -0.525482177734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65085094911549
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79351116} λ = 1.79351116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65085094911549))-π/2
    2×atan(0.191886553434216)-π/2
    2×0.189582136565203-π/2
    0.379164273130407-1.57079632675     		φ = -1.19163205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79351116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.760620°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19163205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.275487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51475 KachelY 49987 1.79351116 -1.19163205 102.760620 -68.275487
    Oben rechts KachelX + 1 51476 KachelY 49987 1.79360704 -1.19163205 102.766113 -68.275487
    Unten links KachelX 51475 KachelY + 1 49988 1.79351116 -1.19166754 102.760620 -68.277521
    Unten rechts KachelX + 1 51476 KachelY + 1 49988 1.79360704 -1.19166754 102.766113 -68.277521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19163205--1.19166754) × R
    3.54900000001379e-05 × 6371000     		dl = 226.106790000879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19163205--1.19166754) × R
    3.54900000001379e-05 × 6371000     		dr = 226.106790000879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79351116-1.79360704) × cos(-1.19163205) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.370144233386024 × 6371000     		do = 226.10315277717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79351116-1.79360704) × cos(-1.19166754) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.370111263855086 × 6371000     		du = 226.083013290402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19163205)-sin(-1.19166754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370144233386024-0.370111263855086)×R²
    abs(1.79360704-1.79351116)×3.2969530937732e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.2969530937732e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.2969530937732e-05×40589641000000     		ar = 51121.181251312m²