Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51471 / 48185
↖ ↑ ↗
← S 64.304204°
E102.738648°		 ← 264.83 m → S 64.304204°
E102.744141°		 →
↑
264.84 m
↓
↑
264.84 m
↓
S 64.306586°
E102.738648°		 ← 264.81 m →
70 136 m²		 S 64.306586°
E102.744141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785392761230469 y=0.735252380371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785392761230469 × 216)
    floor (0.785392761230469 × 65536)
    floor (51471.5)     		tx = 51471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735252380371094 × 216)
    floor (0.735252380371094 × 65536)
    floor (48185.5)     		ty = 48185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51471 / 48185 ti = "16/51471/48185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51471/48185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51471 ÷ 216
    51471 ÷ 65536     		x = 0.785385131835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48185 ÷ 216
    48185 ÷ 65536     		y = 0.735244750976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785385131835938 × 2 - 1) × π
    0.570770263671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.79312767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735244750976562 × 2 - 1) × π
    -0.470489501953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.47808636288481
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79312767} λ = 1.79312767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47808636288481))-π/2
    2×atan(0.228073721384524)-π/2
    2×0.224238121726258-π/2
    0.448476243452517-1.57079632675     		φ = -1.12232008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79312767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.738648°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12232008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.304204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51471 KachelY 48185 1.79312767 -1.12232008 102.738648 -64.304204
    Oben rechts KachelX + 1 51472 KachelY 48185 1.79322354 -1.12232008 102.744141 -64.304204
    Unten links KachelX 51471 KachelY + 1 48186 1.79312767 -1.12236165 102.738648 -64.306586
    Unten rechts KachelX + 1 51472 KachelY + 1 48186 1.79322354 -1.12236165 102.744141 -64.306586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12232008--1.12236165) × R
    4.15700000000463e-05 × 6371000     		dl = 264.842470000295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12232008--1.12236165) × R
    4.15700000000463e-05 × 6371000     		dr = 264.842470000295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79312767-1.79322354) × cos(-1.12232008) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.433592970527367 × 6371000     		do = 264.833283556081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79312767-1.79322354) × cos(-1.12236165) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.433555511058391 × 6371000     		du = 264.810403770559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12232008)-sin(-1.12236165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433592970527367-0.433555511058391)×R²
    abs(1.79322354-1.79312767)×3.74594689768748e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.74594689768748e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.74594689768748e-05×40589641000000     		ar = 70136.0711960749m²