Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5147 / 3095
↖ ↑ ↗
← N 81.054006°
W123.453369°		 ← 189.96 m → N 81.054006°
W123.442383°		 →
↑
189.98 m
↓
↑
189.98 m
↓
N 81.052297°
W123.453369°		 ← 190 m →
36 092 m²		 N 81.052297°
W123.442383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157089233398438 y=0.0944671630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157089233398438 × 215)
    floor (0.157089233398438 × 32768)
    floor (5147.5)     		tx = 5147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0944671630859375 × 215)
    floor (0.0944671630859375 × 32768)
    floor (3095.5)     		ty = 3095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5147 / 3095 ti = "15/5147/3095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5147/3095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5147 ÷ 215
    5147 ÷ 32768     		x = 0.157073974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3095 ÷ 215
    3095 ÷ 32768     		y = 0.094451904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157073974609375 × 2 - 1) × π
    -0.68585205078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.15466776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.094451904296875 × 2 - 1) × π
    0.81109619140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.5481338362037
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15466776} λ = -2.15466776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5481338362037))-π/2
    2×atan(12.7832259161831)-π/2
    2×1.49272780045593-π/2
    2.98545560091187-1.57079632675     		φ = 1.41465927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15466776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.453369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41465927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.054006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5147 KachelY 3095 -2.15466776 1.41465927 -123.453369 81.054006
    Oben rechts KachelX + 1 5148 KachelY 3095 -2.15447602 1.41465927 -123.442383 81.054006
    Unten links KachelX 5147 KachelY + 1 3096 -2.15466776 1.41462945 -123.453369 81.052297
    Unten rechts KachelX + 1 5148 KachelY + 1 3096 -2.15447602 1.41462945 -123.442383 81.052297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41465927-1.41462945) × R
    2.98199999999582e-05 × 6371000     		dl = 189.983219999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41465927-1.41462945) × R
    2.98199999999582e-05 × 6371000     		dr = 189.983219999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15466776--2.15447602) × cos(1.41465927) × R
    0.000191739999999996 × 0.155503424474705 × 6371000     		do = 189.959179724533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15466776--2.15447602) × cos(1.41462945) × R
    0.000191739999999996 × 0.155532881655793 × 6371000     		du = 189.995163896428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41465927)-sin(1.41462945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155503424474705-0.155532881655793)×R²
    abs(-2.15447602--2.15466776)×2.94571810878497e-05×R²
    0.000191739999999996×2.94571810878497e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.94571810878497e-05×40589641000000     		ar = 36092.4748304955m²