Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51469 / 48104
↖ ↑ ↗
← S 64.110602°
E102.727661°		 ← 266.69 m → S 64.110602°
E102.733154°		 →
↑
266.69 m
↓
↑
266.69 m
↓
S 64.113000°
E102.727661°		 ← 266.67 m →
71 121 m²		 S 64.113000°
E102.733154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785362243652344 y=0.734016418457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785362243652344 × 216)
    floor (0.785362243652344 × 65536)
    floor (51469.5)     		tx = 51469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734016418457031 × 216)
    floor (0.734016418457031 × 65536)
    floor (48104.5)     		ty = 48104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51469 / 48104 ti = "16/51469/48104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51469/48104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51469 ÷ 216
    51469 ÷ 65536     		x = 0.785354614257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48104 ÷ 216
    48104 ÷ 65536     		y = 0.7340087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.785354614257812 × 2 - 1) × π
    0.570709228515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.79293592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7340087890625 × 2 - 1) × π
    -0.468017578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.47032058514636
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79293592} λ = 1.79293592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47032058514636))-π/2
    2×atan(0.229851786305417)-π/2
    2×0.225927616322889-π/2
    0.451855232645779-1.57079632675     		φ = -1.11894109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79293592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.727661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11894109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.110602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51469 KachelY 48104 1.79293592 -1.11894109 102.727661 -64.110602
    Oben rechts KachelX + 1 51470 KachelY 48104 1.79303179 -1.11894109 102.733154 -64.110602
    Unten links KachelX 51469 KachelY + 1 48105 1.79293592 -1.11898295 102.727661 -64.113000
    Unten rechts KachelX + 1 51470 KachelY + 1 48105 1.79303179 -1.11898295 102.733154 -64.113000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11894109--1.11898295) × R
    4.18599999998381e-05 × 6371000     		dl = 266.690059998969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11894109--1.11898295) × R
    4.18599999998381e-05 × 6371000     		dr = 266.690059998969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79293592-1.79303179) × cos(-1.11894109) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.436635327194569 × 6371000     		do = 266.691517800385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79293592-1.79303179) × cos(-1.11898295) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.43659766794069 × 6371000     		du = 266.668515988689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11894109)-sin(-1.11898295))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436635327194569-0.43659766794069)×R²
    abs(1.79303179-1.79293592)×3.76592538789411e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.76592538789411e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.76592538789411e-05×40589641000000     		ar = 71120.9097162817m²